2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как найти сумму ряда?
Сообщение12.03.2021, 17:01 


01/03/20
46
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n^4+n^2+1)}$$
Знаю только два стандартных способа нахождения суммы ряда:

1. По определению, как предел частичных сумм. Иногда получается увидеть закономерность и вывести формулу для $n$-ой частичной суммы. Безуспешно пытался найти закономерность и получить формулу.

2. Подобрать функцию так, чтоб это был ее ряд Тейлора при каком-то $x=x_0$. Так, например, можно показать, что $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+... = \ln 2$$Но, судя по вычислениям в wolfram alpha, соответствующий ряд Тейлора определяет функцию, которая не выражается в элементарных.

Какие еще есть методы нахождения суммы ряда? Подскажите, в каком направлении искать.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение12.03.2021, 18:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23694
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.03.2021, 00:30 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23694
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 00:34 


01/03/20
46
Заметил, что
$$n^4+n^2+1=(n^2-n+1)(n^2+n+1)=(n^2-n+1)((n+1)^2-(n+1)+1),$$
поэтому
$$
\frac{1}{n^4+n^2+1}= \frac{1}{2n} \cdot \left( \frac{1}{n^2-n+1} - \frac{1}{(n+1)^2-(n+1)+1}\right)
$$
Хотелось бы, чтоб что-то соседнее сократилось, но не пойму как дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 03:48 
Заслуженный участник


20/08/14
8524
Россия, Москва
ВольфрамАльфа пренебрёг скобкой в знаменателе и посчитал сумму лишь с факториалом. Что впрочем понятно, ведь для больших $n$ выполняется $n!\gg(n^4+n^2+1)$ и соответственно $n!(n^4+n^2+1)\approx n!$. (UPD: не прав.) Вопрос с началом суммы (при малых $n$) и доказательством перехода остаётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 04:56 
Заслуженный участник


04/05/09
4540
IvanX, подход правильный. Теперь объедините подходящие слагаемые из соседних итераций (не забыв про факториалы), и ряд заметно упростится. Потом проделать аналогичную операцию ещё раз, и станет совсем хорошо.

-- Сб мар 13, 2021 21:11:26 --

Dmitriy40 в сообщении #1509125 писал(а):
ВольфрамАльфа пренебрёг скобкой в знаменателе
Почему вы так решили? Как вы думаете, откуда Вольфрам взял двойку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 05:37 
Заслуженный участник


20/08/14
8524
Россия, Москва
Да, был не прав, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как найти сумму ряда?
Сообщение14.03.2021, 07:59 


16/04/18
862
Wolfram Alpha даёт совсем простой ответ: e/2.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: reterty


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group