функциональное уравнение

[redhat]

верно ли, что уравнение $u(x^2)=u(x)$ не имеет в $L^2(0,1)$ решений за исключением констант?

[gris]

Тогда и $u(x^{2n}) = u(x)$.
$x^{2n}$ - убывающая к 0 геометрическая прогрессия. Далее от противного.
Хотя там открытый интервал...

[redhat]

gris писал(а):

Тогда и $u(x^{2n}) = u(x)$.
$x^{2n}$ - убывающая к 0 геометрическая прогрессия. Далее от противного.
Хотя там открытый интервал...

непонятно

[gris]

Извиняюсь. Во-первых, конечно $u(x^{2^n})$ , а во-вторых мне почему-то показалось, что мы рассматриваем равномерно непрерывные функции. С чего бы? Музыкой навеяло, вероятно.

[AD]

Заметим, что

$$0{,}7^k>0{,}6^k>0{,}7^{2k}$$

для любого $k\in\mathbb{Z}$, в частности, для $k=2^l$. Следовательно, задав функцию единицей на интервале $(a=0{,}6;b=0{,}7)$, мы получим бесконечную в обе стороны упорядоченную последовательность непересекающихся интервалов $\bigcup\limits_{l\in\mathbb{Z}}(a^{2^l},b^{2^l})$, на котором функция тоже должна быть единицей. А в остальных точках (а их много, ведь интервалы не пересекались) зададим функцию нулем - и всё будет.

Вроде нигде не наврал.

[Mikhail Sokolov]

Пусть $h$ - произвольная периодическая функция с периодом $ln(2)$ из $L^2(R)$. Тогда функция $u(x)=h(ln(-ln(x)))$ обладает требуемым свойством.

[AD]

Mikhail Sokolov, к вам два вопроса. Первый [убрал, глупость была ] Второй - посерьезнее: вы знаете хоть одну ненулевую периодическую функцию в $L_2(\mathbb{R})$?

upd: первый вопрос - глупый на редкость, извиняюсь.

[gris]

Может быть для функции u(x) задать другие ограничения?
Для равномерно непрерывной утверждение задачи доказать несложно.
Для u из $L^2(0,1)$ легко строится контрпример. Как у AD или вообще u(x)=0 везде, кроме $u(0.5^{2^k}) = 1$ , где к - целое. Но это функция измеримая, но разрывная.
А вот справедливо ли утверждение для непрерывных на интервале функций?

[AD]

gris в сообщении #151065 писал(а):

вообще u(x)=0 везде, кроме $u(0.5^{2^k}) = 1$ , где к - целое

А эта функция не равна ли нулю как элемент $L^2$? Ясно, что у нас функции с точностью до почти всюду.

Добавлено спустя 2 минуты 31 секунду:

gris в сообщении #151065 писал(а):

А вот справедливо ли утверждение для непрерывных на интервале функций?

Ну думаю, что можно на тех же моих интервалах нарисовать вместо тождественной единички - шапочки. Нарисовали на одном - и намножим на все. Получится функция, непрерывная (или, при желании, бесконечно дифференцируемая) на интервале, но не на отрезке. Ясно, что на отрезке непрерывной ее сделать не получится (ведь если у нее есть хотя бы два значения, то они будут сгущаться к обоим концам отрезка).

Добавлено спустя 6 минут 18 секунд:

А равномерно непрерывную на интервале тоже, наверное, нельзя. Ведь любые два значения будут находиться во всё более и более близких точках при возведении аргументов в квадраты.

[gris]

AD, Вы правы.
А функция у Mikhail Sokolov мне понравилась. Ну пусть период будет |ln2|. И измеримость h, вообще-то, не нужна. Например,
$sin(\frac{2\pi} {ln2} ln(-lnx))$.

$u(x^2) = sin(\frac{2\pi} {ln2} ln(-lnx^2)) = sin(\frac{2\pi} {ln2} ln(-2lnx))=$

$= sin(\frac{2\pi} {ln2} (ln2 + ln(-lnx))) = sin(2\pi + \frac{2\pi} {ln2} ln(-lnx))=sin(\frac{2\pi} {ln2} ln(-lnx)) = u(x)$

Она непрерывна, кстати, и задается простым аналитическим выражением, что есть красиво:)

[AD]

Да, че-то я пример Mikhailа Sokolovа сразу не заценил, а он, видимо, дал с ходу полное описание всех таких функций.

То есть функция grisа даже аналитической будет.

Думаю, при помощи "Sokolov's lemma" можно даже что-то такое соорудить: Пусть $\alpha,\beta>1$, тогда числа $\ln\alpha$ и $\ln\beta$ соизмеримы в том и только в том случае, когда существует отличная от константы функция $f:(0,1)\to\mathbb{R}$, удовлетворяющая системе функциональных уравнений $f(x^\alpha)=f(x^\beta)=f(x)$.

[Mikhail Sokolov]

gris Эта функция является общим решением данного функционального уравнения.
AD Да, вы правы: 0 почти всюду.