Производная от функции, содержащей целую часть

[Onion65535]

Приветствую! Возник вопрос при решении задачи №978 (г) из "Сборника задач и упражнений по математическому анализу" Демидовича (13 издание, 1997 год).
Условие задачи таково: найти производную от функции $y=[x]\sin^2{\pi x}$, где $[x]$ - целая часть числа $x$
Я начал с того, что решил исследовать на дифференцируемость функцию $g(x)=[x]$.
В точках $x=k$, где $k \in \mathbb Z$ функция $g(x)$ терпит разрыв, а значит недифференцируема. Во всех остальных точках данная функция является постоянной величиной, а значит её производная равна нулю.
Теперь продифференцируем функцию $y$, при $x \neq k$, где $k \in \mathbb Z$:
$y'=([x])'\sin^2{\pi x}+(\sin^2{\pi x})'[x]=$ $2\pi [x]\sin{\pi x}\cos{\pi x}=\pi [x]\sin{2\pi x}$
При этом, легко доказать, что функция $y(x)$ непрерывна в точках $x=k$, $k \in \mathbb Z$, а значит можно поставить вопрос о существовании её производной в этих точках. Используем определение производной (приращение аргумента обозначим как $h$):
$\lim\limits_{h\to 0+ } \frac{[k+h]\sin^2{(\pi k + \pi h)}-[k]\sin^2{\pi k}}{h}=$ $k\lim\limits_{h\to 0+ } \frac{\sin^2{\pi h}}{h}=$ $k\lim\limits_{h\to 0+ } \frac{{\pi}^2 h^2}{h}=$ $k{\pi}^2\lim\limits_{h\to 0+ } h = 0$
$\lim\limits_{h\to 0- } \frac{[k+h]\sin^2{(\pi k + \pi h)}-[k]\sin^2{\pi k}}{h}=$ $(k-1)\lim\limits_{h\to 0- } \frac{\sin^2{\pi h}}{h}=0$
Таким образом односторонние производные существуют и равны. А значит $y'(k)=0$, где $k \in \mathbb Z$.
Учитывая, что при таких $k$ будет $\pi[k]\sin{2\pi k}=0$, получаем что при любых $x$ производная выражается формулой
$y'=\pi[x]\sin{2\pi x}$
В Демидовиче указан ровно такой ответ.
А дальше я решил ради интереса заглянуть в китайский Анти-Демидович и там этот ответ был дан только для нецелых x, а касательно целых была приписка на китайском, которую я естественно не понял.
Наконец, я решил использовать Wolfram Alpha, и он выдал, что производная для нецелых x выражается полученной формулой, а для целых - не существует.

Так какой же правильный ответ и что я делаю не так?

[nnosipov]

Onion65535 в сообщении #1508640 писал(а):

Так какой же правильный ответ и что я делаю не так?

Ваш и Демидовича ответы --- правильные. А на системы компьютерной алгебры в таких ситуациях рассчитывать не стоит (они еще не умеют корректно рассматривать "критические" значения параметра в задачах с параметрами, что Ваш опыт и подтвердил).

[arseniiv]

Onion65535 в сообщении #1508640 писал(а):

и он выдал, что производная для нецелых x выражается полученной формулой, а для целых - не существует

Но заметьте, что если вы попросите вычислить конкретные пределы, которые считали руками, то скорее всего взять их система сможет. Может даже сразу двусторонний, не проверял. То есть да, относитесь к СКА как к очень навороченному калькулятору, умеющему много трюков и поднимающему длиннющие выражения, но не могущему найти точный ответ на всё. Со временем может прийти понимание, результатом каких вычислений на той или иной СКА (так как они ведь знают немного разное) можно доверять стопроцентно (за исключением невероятных случаев очень аккуратных проблем с RAM на компьютере и подобного), а какие стоит перепроверять разными окольными путями, и какими путями (можно также прикидочно смотреть на график и считать значения функции в точках, но если берётся предел, лучше спрашивать предел). По крайней мере для некоторых задач.

-- Чт мар 11, 2021 16:43:21 --

Обычно хорошо получаются «полностью непрерывные» или «полностью дискретные» вещи, а вот со смесью не особо. Мне пришлось немного хитрить, чтобы найти в Mathematica 8 преобразование Фурье от довольно простой кусочно заданной периодической функции.

[Onion65535]

nnosipov в сообщении #1508648 писал(а):

Onion65535 в сообщении #1508640 писал(а):

Так какой же правильный ответ и что я делаю не так?

Ваш и Демидовича ответы --- правильные. А на системы компьютерной алгебры в таких ситуациях рассчитывать не стоит (они еще не умеют корректно рассматривать "критические" значения параметра в задачах с параметрами, что Ваш опыт и подтвердил).

arseniiv в сообщении #1508686 писал(а):

Onion65535 в сообщении #1508640 писал(а):

и он выдал, что производная для нецелых x выражается полученной формулой, а для целых - не существует

Но заметьте, что если вы попросите вычислить конкретные пределы, которые считали руками, то скорее всего взять их система сможет. Может даже сразу двусторонний, не проверял. То есть да, относитесь к СКА как к очень навороченному калькулятору, умеющему много трюков и поднимающему длиннющие выражения, но не могущему найти точный ответ на всё. Со временем может прийти понимание, результатом каких вычислений на той или иной СКА (так как они ведь знают немного разное) можно доверять стопроцентно (за исключением невероятных случаев очень аккуратных проблем с RAM на компьютере и подобного), а какие стоит перепроверять разными окольными путями, и какими путями (можно также прикидочно смотреть на график и считать значения функции в точках, но если берётся предел, лучше спрашивать предел). По крайней мере для некоторых задач.

-- Чт мар 11, 2021 16:43:21 --

Обычно хорошо получаются «полностью непрерывные» или «полностью дискретные» вещи, а вот со смесью не особо. Мне пришлось немного хитрить, чтобы найти в Mathematica 8 преобразование Фурье от довольно простой кусочно заданной периодической функции.

Большое спасибо за ответы и за советы по работе с СКА! Успокоили
Да, действительно, если подставлять конкретные целые значения и вычислять с помощью Wolfram предел из определения производной, то двусторонний предел без проблем вычисляется.

[svv]

(Onion65535)

Вы очень хорошо записываете формулы в $\TeX$. Единственное замечание к оформлению сообщений — избегайте избыточного цитирования. Посмотрите, как экономно используют цитаты Ваши собеседники (что и неудивительно — один из них на форуме 10 лет, другой почти 12). Часто без цитат можно вообще обойтись, а чтобы процитировать только то, что нужно, выделите цитируемый текст и нажмите кнопку "Вставка".

[Onion65535]

(svv)

Спасибо, я учту