Приветствую! Возник вопрос при решении задачи №978 (г) из "Сборника задач и упражнений по математическому анализу" Демидовича (13 издание, 1997 год).
Условие задачи таково: найти производную от функции
, где
- целая часть числа
Я начал с того, что решил исследовать на дифференцируемость функцию
.
В точках
, где
функция
терпит разрыв, а значит недифференцируема. Во всех остальных точках данная функция является постоянной величиной, а значит её производная равна нулю.
Теперь продифференцируем функцию
, при
, где
:
При этом, легко доказать, что функция
непрерывна в точках
,
, а значит можно поставить вопрос о существовании её производной в этих точках. Используем определение производной (приращение аргумента обозначим как
):
Таким образом односторонние производные существуют и равны. А значит
, где
.
Учитывая, что при таких
будет
, получаем что при любых
производная выражается формулой
В Демидовиче указан ровно такой ответ.
А дальше я решил ради интереса заглянуть в китайский Анти-Демидович и там этот ответ был дан только для нецелых x, а касательно целых была приписка на китайском, которую я естественно не понял.
Наконец, я решил использовать Wolfram Alpha, и он
выдал, что производная для нецелых x выражается полученной формулой, а для целых - не существует.
Так какой же правильный ответ и что я делаю не так?