Минимальная скорость для преодоление горки

[letoo]

На гладкой горизонтальной плоскости покоится гладкая горка высотой $H$ и массой $M$,а на её вершине лежит небольшая шайба массой $m$ . После лёгкого толчка шайба скатывается с горки и скользит перпендикулярно массивной вертикальной стенке, движущейся по плоскости в сторону горки со скоростью $u$.Испытав абсолютно упругое столкновение со стенкой, шайба скользит в обратном направлении, к горке. С какой минимальной скоростью $u$ должна двигаться стенка, чтобы шайба смогла преодолеть горку? (рисунок https://imgur.com/a/MWMeVF6)

1)ЗСИ для момента, когда шайба съедет с горки $mv=Mv_0$
2)ЗСЭ $mgH=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mv_0^2}{2}$

3)Из этого $v^2=\frac{2gHM}{M+m}$
4)После упругого ударения со стенкой скорость шайбы относительно земли будет равна $v_1=v+2u$
5)В СЦМ $mgH=\frac{mMV_1^2}{(m+M)2}$
Получил квадратное уравнение $4u^2+4uv+v^2-\frac{M+m}{M}gH=0$
положительный корень
$u=\frac{\sqrt{\frac{M+m}{M}gH}-v}{2}$
подскажите где я ошибся

(Оффтоп)

Ответ:$\frac{m}{M}\sqrt{\frac{M}{m+M}2gH}$

[computer]

Почему стенка вообще должна двигаться? Если трения нет, то и ударившись о неподвижную стенку шайба вернётся на вершину, раз однажды там была, кинетическая энергия перейдёт обратно в потенциальную.

[letoo]

computer в сообщении #1508623 писал(а):

Почему стенка вообще должна двигаться

По условию она движется

[computer]

Судя по уравнениям, горка тоже способна двигаться, иначе зачем указывать её массу. Но почему об этом прямо не сказано.

[rascas]

letoo,пункты 1 - 4 правильные.

Дальше идёт не понятно и скорее всего не правильно. Например, что такое $V_1$ ? Распишите после 4 пункта всё подробно, как это всё получали:

letoo в сообщении #1508614 писал(а):

5)В СЦМ $mgH=\frac{mMV_1^2}{(m+M)2}$
Получил квадратное уравнение $4u^2+4uv+v^2-\frac{M+m}{M}gH=0$

[svv]

(Letoo)

letoo в сообщении #1508614 писал(а):

1)ЗСИ для момента, когда шайба съедет с горки $mv=Mv_0$
2)ЗСЭ $mgH=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mv_0^2}{2}$

Если Вы найдёте из этих уравнений скорость горки $v_0$ (после того, как с неё скатилась шайба), чудесным образом получится то же выражение, что стоит в ответе задачи для $u$. А почему этот простой метод даёт ответ, я могу рассказать позже (если будет интересно), когда получите правильный ответ Вашим способом.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1508637 писал(а):

А почему этот простой метод даёт ответ, я могу рассказать позже

Перейти в СО "догоняющую" горку со скоростью $2v_0$ и соображение симметрии по времени? ))

[DimaM]

Для задачи двух тел применение приведенной массы упрощает уравнения прямо-таки волшебным образом.

[EUgeneUS]

computer
Ваши сообщения в ПРР(Ф) имеют слабое отношение к помощи ТС, и вообще к обсуждаемой задаче.

-- 11.03.2021, 08:16 --

(Оффтоп)

Когда что-то скатывается с горки всегда смотрю, как сопряжена горка и горизонтальная плоскость. Поэтому пришлось открыть рисунок

[letoo]

rascas в сообщении #1508633 писал(а):

letoo,пункты 1 - 4 правильные.

Дальше идёт не понятно и скорее всего не правильно. Например, что такое $V_1$ ? Распишите после 4 пункта всё подробно, как это всё получали:

letoo в сообщении #1508614 писал(а):

5)В СЦМ $mgH=\frac{mMV_1^2}{(m+M)2}$
Получил квадратное уравнение $4u^2+4uv+v^2-\frac{M+m}{M}gH=0$

(Сверху у меня не правильное выражение)

1) горка имеет скорость $v_0$, после соударения с стенкой имеет скорость $v_1=v+2u$
Где $v$ Скорость бруска после съезда с горки
$Mv_0=mv$
2) ЗСЭ $\frac{mv_1^2}{2}+\frac{Mv_0^2}{2}=mgh$
Получилось $4u^2+4uv+v^2+\frac{mV^2}{M}-2gh=0$
(Выражения для $u$ получились «некрасивые»).

[DimaM]

letoo
Уравнение 2) неверное. Когда шайба заезжает на вершину горки, и шайба, и горка движутся. Причем скорость шайбы в этот момент должна быть не меньше скорости горки. Так что надо бы добавить слагаемое в правую часть и учесть ЗСМ.

[svv]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay
Да. В предельном случае, когда шайба после удара о стенку только-только заезжает на вершину горки, движение симметрично в СО стенки $\Rightarrow$ пока шайба путешествует между горкой и стенкой, относительная скорость горки и стенки равна $0$.

[EUgeneUS]

letoo
Рассматривая промежуточное состояние, Вы нашли $v$ - скорость шайбы в лабораторной СО после съезда с горки и до удара об стену.
Это всё, что нам нужно от промежуточного состояния.
Дальше можно записать ЗСЭ и ЗСИ для самого начального и самого конечного состояний.
В эти выражения войдут изменения энергии и импульса, связанные с ударом шайбы об стену. Но их же легко получить, зная $v_1$.

Можно это сделать в лабораторной СО. Ничего сложного там нет.
Но более наглядно это будет в ИСО стены, как предложил уважаемый svv
Тогда будет достаточно только ЗСИ (потому что ЗСЭ оказывается тривиальным).

[letoo]

EUgeneUS
Выражения в ЛСО у меня получились:
$\frac{mv_1^2}{2}+\frac{Mv_o^2}{2}=mgh+\frac{(M+m)v_2^2}{2}$
$v_2$-скорость горки и шайбы (когда шайба поднялась на высоту $h$) ЗСИ:$mv_1=(m+M)v_2$
Из этих выражений получил
$4u^2+4uv+v^2-2gh=0$

$u=\frac{\sqrt{2gh}-v}{2}$

UPD: У меня вопрос, будет ли учитывать кинетическая энергия горки в ИСО плиты?

[EUgeneUS]

letoo в сообщении #1508709 писал(а):

Выражения в ЛСО у меня получились:

Вы не прислушались совету и опять записываете ЗСЭ и ЗСИ для промежуточного и конечного состояния.
Этот путь возможен, но сложен и тернист, поэтому мне туда ходить лениво.
Может всё таки попробуем без заката Солнца вручную?

Я начну, о Вы продолжите.
В ЛСО записываем ЗСЭ
$mgh + \Delta E= mgh + \frac{(m+M) v_2^2}{2}$
То есть:
а) в начале горка и шайба покоились, шайба лежала на горке на высоте $h$
б) системе из горки и шайбы дали пинка добавили энергию.
в) в результате разных "пертрубаций" шайба забралась на горку на высоту $h$ и движется вместе с горкой со скоростью $v_2$

Что нужно сделать:
а) понять, откуда взялось $\Delta E$ и выразить его через $v$ и $u$. Подставлять ранее найденное $v$ пока не нужно, чтобы не загромождать красоту лишними деталями.
б) проделать всё тоже самое с импульсом.