Фундаментальный вопрос по школьной геометрии(планиметрии)

[kvaa2]

Здравствуйте. Возможно задам немного дотошный вопрос, а возможно глупый, но всё же. В учебнике Погорелова по планиметрии(и в других учебниках) вводят понятие полуплоскости, а именно: прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Также приводят 2 свойства: 1)если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то он пересекает прямую; 2)если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то он не пересекает прямую. Вопрос: как доказать, что если первая прямая пересекает вторую, то два луча на первой прямой, которые образуются точкой пересечения, лежат в разных полуплоскостях(грубо говоря, что прямая не "отзеркаливает" от другой). Или это аксиома? Или этому есть другое объяснение? Заранее спасибо.

[Xaositect]

Это доказывается, не очень сложно. Точка пересечения лежит между любыми двумя точками, выбранными на разных лучах.

[kvaa2]

Xaositect в сообщении #1508658 писал(а):

Это доказывается, не очень сложно. Точка пересечения лежит между любыми двумя точками, выбранными на разных лучах.

Да, но мы не знаем что лучи лежат в разных полуплоскостях. Нам дано, что одна из точек лежит в одной полуплоскости, а вторая на прямой, разбивающей плоскость, по сути. То есть, через эти две точки проводим прямую и знаем, что как минимум одна лежит в одной из полуплоскостей, а другая на прямой, разбивающей плоскость. Есть ли точки во второй полуплоскости нам не известно. В этом и вопрос: есть ли там точки? P.S. Спасибо за ваш ответ, я ценю, просто периодически возникает этот вопрос и думаю над ним давно. Может это просто внегласная аксиома и принимается как очевидное? Просто в этих книжках рассматривают только случаи, когда точки лежат в полуплоскостях, но не на прямой. Думаю в этом и состоит небольшой "прокол". Или может я чего-то не понимаю.

[Xaositect]

Запишите все аккуратно.

У нас есть две прямые $a$ и $b$. Они пересекаются в точке $P$.
Прямая $a$ разбивает плоскость на две полуплоскости. Две точки $A$ и $B$ (не лежащие на $a$) лежат в разных полуплоскостях тогда и только тогда, когда отрезок $AB$ пересекает прямую $a$.
Точка $P$ разбивает прямую $b$ на два луча. Две точки $A$ и $B$ (не совпадающие с $P$) на прямой $b$ лежат на разных лучах тогда и только тогда, когда $P$ лежит между $A$ и $B$.

Пусть даны две точки $A$ и $B$ на прямой $b$ на разных лучах (и ни одна не совпадает c $P$). В какой точке отрезок $AB$ пересекает прямую $a$?

[kvaa2]

Xaositect в сообщении #1508670 писал(а):

Запишите все аккуратно.

У нас есть две прямые $a$ и $b$. Они пересекаются в точке $P$.
Прямая $a$ разбивает плоскость на две полуплоскости. Две точки $A$ и $B$ (не лежащие на $a$) лежат в разных полуплоскостях тогда и только тогда, когда отрезок $AB$ пересекает прямую $a$.
Точка $P$ разбивает прямую $b$ на два луча. Две точки $A$ и $B$ (не совпадающие с $P$) на прямой $b$ лежат на разных лучах тогда и только тогда, когда $P$ лежит между $A$ и $B$.

Пусть даны две точки $A$ и $B$ на прямой $b$ на разных лучах (и ни одна не совпадает c $P$). В какой точке отрезок $AB$ пересекает прямую $a$?

Опять же извините за дотошность, но нам не сказали что работает свойство, обратное свойству (1) (то есть, если отрезок пересекает прямую, то его концы лежат в разных полуплоскостях). Хотя, может быть, просто не хотели нагружать школьников понятием равносильности.

[mihaild]

kvaa2 в сообщении #1508671 писал(а):

но нам не сказали что работает свойство, обратное свойству (1) (то есть, если отрезок пересекает прямую, то две его точки лежат в разных плоскостях)

Зато вам сказали, что если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то он не пересекает прямую, а это эквивалентно.

[kvaa2]

Спасибо всем за ответы! Вроде всё встало на свои места.