НОД множества чисел

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1507965 писал(а):

Какие дальнейшие действия?

Обозначить $m=ab/(a,b)$ и доказать, что любое общее кратное $M$ элементов $a$ и $b$ будет делиться на $m$.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1507967 писал(а):

Тогда $[a, b] = \prod\limits_{p | ab} p^\max\left(f(p, a), f(p, b)\right)$.

Пусть мы находимся в $\mathbb{Z}$ и ищем $[3 , 4]$. Выписываем все простые, которые делят $ab = 12$:

$$2, -2, 3, -3$$

Далее $f(2, 3) = 0, f(2, 4) = 2, f(-2, 3) = 0, f(-2, 4) = 2$, $f(3, 3) = 1, f(3, 4) = 0, f(-3, 3) = 1, f(-3, 4) = 0$. Запишем произведение $\prod\limits_{p | ab} p^\max\left(f(p, a), f(p, b)\right)$ $=$ $2^{\max(2, 0)} \cdot (-2)^{\max(2, 0)} \cdot 3^{\max(1, 0)} \cdot (-3)^{\max(1, 0)} = $ $2^2 \cdot (-2)^2 \cdot 3^1 \cdot (-3)^1 = -144$, а надо 12. Тут я думаю нужно условие на ассоциированные: их не надо считать несколько раз.

nnosipov в сообщении #1507981 писал(а):

Обозначить $m=ab/(a,b)$ и доказать, что любое общее кратное $M$ элементов $a$ и $b$ будет делиться на $m$.

У меня так получилось. Возьмем произвольные $a , b \in A$. $\exists (a, b) \in A$. $a \vdots (a, b) \Rightarrow \exists q_1: a = q_1 \cdot (a, b)$, $b \vdots (a, b) \Rightarrow \exists q_2: b = q_2 \cdot (a, b)$Положим $m = q_1q_2(a,b)$. Легко показать, что $m$ является общим кратным $a$ и $b$. Докажем, что $m$ делит любое общее кратное $M$ элементов $a$ и $b$.
1) $M \vdots a, a \vdots q_1 \Rightarrow M \vdots q_1$.
2) $M \vdots q_1, M \vdots b, (q_1, b) = 1 \Rightarrow M \vdots q_1b = m$ чтд.

-- 06.03.2021, 21:15 --

mihaild в сообщении #1507967 писал(а):

Это неважно, при поиске НОК ассоциированные элементы можно не различать.

Т.е. это и есть то ограничение на ассоциированные, о котором я выше написал? Если так, то тогда все понятно.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1508149 писал(а):

Выписываем все простые, которые делят $ab = 12$: $2, -2, 3, -3$

EminentVictorians в сообщении #1508149 писал(а):

Тут я думаю нужно условие на ассоциированные: их не надо считать несколько раз

Да, я плохо написал - надо брать по одному простому из каждого класса ассоциированности.

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1508149 писал(а):

2) $M \vdots q_1, M \vdots b, (q_1, b) = 1 \Rightarrow M \vdots q_1b = m$ чтд.

Неверно, что $(q_1,b)=1$.