Возник еще один вопрос, теперь по поводу НОК.
Надо доказать, что в евклидовом кольце
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
для любых двух элементов
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
из
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
существует
![$[a, b]$ $[a, b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd4455e79810acc06e3d31c60fb8bfb282.png)
. (квадратные скобки обозначают НОК).
Я решил доказать вот как. Пусть для начала
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
оба необратимые ненулевые. Остальные случаи тривиальны.
Рассмотрим какие-нибудь разложения
![$a = p_1 \cdot ... \cdot p_n$ $a = p_1 \cdot ... \cdot p_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/4/324ca9d3da76e7bddc9324cf8ee8c8f482.png)
и
![$b = q_1 \cdot ... \cdot q_m$ $b = q_1 \cdot ... \cdot q_m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/7/d97a02d7e61be1f0b75a5baa7599498f82.png)
на простые множители. Положим
![$P_0 = p_1 \cdot ... \cdot p_n$ $P_0 = p_1 \cdot ... \cdot p_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/c/6fc63fbd2315099bfd1cd3215e5fce7582.png)
и
![$S_0 = p_1 \cdot ... \cdot p_n$ $S_0 = p_1 \cdot ... \cdot p_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/0/3e011e7f912149f2f371e2b28a5d2ff382.png)
. На первом шаге делаем следующее: если среди
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
из разложения
![$P_0$ $P_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/b/c7b92170497e6df3f67a979898b39f3882.png)
найдется
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
, делящийся на
![$q_1$ $q_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/d/07d7104fe13d9faea3e641ad3d05383282.png)
, то положим
![$P_1 = \frac{P_0}{p_i}$ $P_1 = \frac{P_0}{p_i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/5/095d8e5e74ed6079a6457a4cd491da1f82.png)
,
![$S_1 = p_1 \cdot ... \cdot p_n$ $S_1 = p_1 \cdot ... \cdot p_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/1/151cba25f5fa5ef5e3ad101fed71eb0e82.png)
. Если же среди
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
из разложения
![$P_0$ $P_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/b/c7b92170497e6df3f67a979898b39f3882.png)
никакой
![$p_i$ $p_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/1/0d19b0a4827a28ecffa01dfedf5f5f2c82.png)
не делится на
![$q_1$ $q_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/d/07d7104fe13d9faea3e641ad3d05383282.png)
, то положим
![$P_1 = P_0$ $P_1 = P_0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/6/a/66a960e59396c165b78d5194091bfb9f82.png)
,
![$S_1 = S_0 \cdot q_1$ $S_1 = S_0 \cdot q_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/e/1ce7602d91566376cb0379c1bb3849c682.png)
. Далее переходим ко второму шагу и аналогично рассматриваем
![$q_2$ $q_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/9/ca98959b0f9ec7100371b3aea8ad2ba482.png)
. И т.д. Далее возможны 2 варианта. Либо мы таким образом благополучно дойдем до
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
-ного шага и получим некий
![$S_m$ $S_m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/e/62ec7ed78c340ea1a37fdfba227dca7882.png)
по итогу, либо на некотором шаге с номером
![$k < m$ $k < m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/3/543facc8ffc9998e21eac48c749e03b782.png)
окажется так, что
![$P_k = 1$ $P_k = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/2/e32d0dbb35f82ee2659f3a54903d920982.png)
. Тогда на
![$k+1$ $k+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/3/33359de825e43daa97171e27f6558ae982.png)
-ом шаге просто домножаем
![$S_k$ $S_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/f/67f338190db57bac70d43e66e745cbfb82.png)
на
![$q_{k+1} \cdot ... \cdot q_m$ $q_{k+1} \cdot ... \cdot q_m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/e/c9e1145e8989efd6f83ae5bfb79632a782.png)
, т.е.
![$S_{k+1} = s_1 \cdot ... \cdot s_k \cdot q_{k+1} \cdot ... \cdot q_m$ $S_{k+1} = s_1 \cdot ... \cdot s_k \cdot q_{k+1} \cdot ... \cdot q_m$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/7/b67bce6ab2c53d533ae47c286aa999af82.png)
(где
![$s_i$ $s_i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/a/4fa3ac8fe93c68be3fe7ab53bdeb2efa82.png)
(
![$1 \leqslant i \leqslant k$ $1 \leqslant i \leqslant k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/2/512b2c1b15862a10a17a0ecc18b9663482.png)
) - это элементы произведения
![$S_k$ $S_k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/f/67f338190db57bac70d43e66e745cbfb82.png)
после завершения
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
-ого шага).
Понятно, что последняя
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
, которую мы получим, и будет искомым НОК(
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
). Но я хочу это строго доказать. А именно надо доказать, что последняя
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
делит любое общее кратное
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. Я примерно понимаю, как это сделать, но получается как-то сложно. Пусть
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
- общее кратное
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. Разложим его как-нибудь на простые множители
![$d = d_1 \cdot ... \cdot d_z$ $d = d_1 \cdot ... \cdot d_z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/7/627b557c95488d1cde96f2c42d46d8a082.png)
. Раз
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
делится на
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, то существует
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
такое, что
![$d = a \cdot \varphi$ $d = a \cdot \varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/a/0ea43ef55a14cc6d1bf3b0550f3b32d982.png)
. Разложение
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
на простые множители у нас есть:
![$a = p_1 \cdot ... \cdot p_n$ $a = p_1 \cdot ... \cdot p_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/4/324ca9d3da76e7bddc9324cf8ee8c8f482.png)
. Это разложение не обязано входить как подстрока в произведение
![$d = d_1 \cdot ... \cdot d_z$ $d = d_1 \cdot ... \cdot d_z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/7/627b557c95488d1cde96f2c42d46d8a082.png)
, но эти
![$d_i$ $d_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/2/672a7aeac9254219b9609330a12e55e582.png)
-ые можно перегруппировать так, что первые
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
из них будут соответственно попарно ассоциированы с
![$a_i$ $a_i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/e/65ed4b231dcf18a70bae40e50d48c9c082.png)
-ыми. Короче говоря, среди
![$d = d_1 \cdot ... \cdot d_z$ $d = d_1 \cdot ... \cdot d_z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/7/627b557c95488d1cde96f2c42d46d8a082.png)
можно выделить 2 подстроки: одна попарно ассоциирована с разложением
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
, другая - попарно ассоциирована с разложением
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
. И эти подстроки могут пересекаться. Надо доказать, что
![$S$ $S$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e257acd1ccbe7fcb654708f1a866bfe982.png)
будет делить "объединение" этих подстрок. Вот с этим и проблема. Как доказать это строго, я не знаю.
Может быть есть какое-нибудь доказательство попроще?