2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сверхпроводимость и критерий Ландау
Сообщение05.03.2021, 08:31 


17/09/09
224
Всем здравствуйте! Представим себе сверхпроводник при нулевой температуре. Имеем конденсат куперовских пар. Пусть конденсат равномерно движется, значит все пары движутся с импульсом (центра масс) $p_s$. Как известно, это движение - сверхтекучее, и может длиться вечно. Поставим вопрос: пусть имеется рассеяние пар на фононах, например. Критерий Ландау говорит о том, что трения появится, если в конденсате начнут возникать возбуждения - для этого куперовской паре надо преодолеть барьер, равный ширине сверхпроводящей щели. Это же утверждение можно переписать в терминах критической скорости. В целом суть утверждения: к трению приводят неупругие процессы. Однако при низких температурах, как известно, рассеяние на фононах практически упругое. Следовательно, при рассеянии пары на фононе, энергия пары может не измениться, а измениться ее импульс - все состояния с импульсами $p\neq p_s$ свободные. В результате, выбивание пар из состояния с $p=p_s$ в любое другое $p\neq p_s$ должно приводить к релаксации сверхтекучего тока, т.е. к его затуханию, т.е. к отсутствию сверхпроводимости.

1) Где ошибка в качественных рассуждениях?
2) Как правильное доказать неверность рассуждения прямым вычислением на уровне расчета матричных элементов рассеяния?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сверхпроводимость и критерий Ландау
Сообщение06.03.2021, 08:20 
Заслуженный участник


29/09/14
1144
1) ИМХО:

Дело в том, что энергия пары в конденсате, как и энергия одночастичных возбуждений (т.е. состояний, выбывших из конденсата) это "коллективный эффект" - результат своего рода "когерентной" квантовой динамики электронов в конденсате, и поэтому нельзя утверждать, будто пара способна перейти в состояние с другим своим суммарным импульсом $(p\neq p_s)$ без изменения энергии конденсата.

(Попытка пояснить подробнее)

(с неизбежной занудностью):

Наглядно конденсат лучше себе представлять не картиной течения электронов в $\mathbf{r}-$пространстве (которая, к тому же, не является пространственно однородной: ток течёт только в слоях толщиной порядка т.н. глубины проникновения), а локальной картиной распределения электронов в фазовом пространстве по парам одночастичных состояний $\mathbf{p}_s/2+\mathbf{k},\uparrow$ и $\mathbf{p}_s/2-\mathbf{k},\downarrow.$ А именно:

В отсутствие одночастичных возбуждений конденсат характеризуется корреляцией заполнения электронами таких пар состояний - пара состояний либо занята двумя электронами, либо свободна от электронов. (И, конечно, как обычно, принцип запрета Паули действует для каждого одночастичного состояния, т.к. речь идёт о заполнении фермионами; думать же о подобном принципе запрета для пар в целом нет большого смысла, т.к. пара электронов в этом смысле - бозон.)

"Когерентность" квантовой динамики электронов в конденсате математически проявляется в том, что заполнение упомянутых пар состояний описывается комплексной амплитудой вероятности $v_{\mathbf{k}}$ того, что пара занята (двумя электронами) и комплексной амплитудой вероятности $u_{\mathbf{k}}$ того, что пара свободна. Электроны в парах с импульсами $k$, по величине близкими к фермиевскому $p_F,$ всё время обмениваются виртуальными фононами, поэтому импульсы этих электронов всё время изменяются (правильнее сказать на языке квантовой механики - не имеют определённого значения), и вот поэтому для описания распределения электронов по парам состояний нужны квантовые амплитуды $v_{\mathbf{k}},$ $u_{\mathbf{k}}.$ И, как показывает расчёт энергии системы, основное состояние, т.е. минимум энергии системы реализуется при условии, что фазы величин $u_{\mathbf{k}}^*v_{\mathbf{k}}$ c разными $\mathbf{k}$ одинаковы - вот так проявляется "когерентность" конденсата. (В состоянии без тока эту фазу можно выбрать равной нулю, а величины $u_{\mathbf{k}}$ и $v_{\mathbf{k}}$ - вещественными.)

В этой картине одночастичное возбуждение (с импульсом $\mathbf{k})$ представляет собой пару состояний с нарушенной корреляцией заполнения - в паре только одно состояние заселено электроном, притом стационарно; можно, например, считать, что это возбуждение типа "электрон в состоянии $\mathbf{k},\uparrow или "дырка" в состоянии $\mathbf{-k},\downarrow.$ Этот электрон, образно говоря, как собака на сене: из-за принципа запрета он мешает забегать в данную пару ячеек другим парам электронам соответственно их когерентной конденсатной динамике. Поэтому энергию одночастичного возбуждения можно оценить так: из энергии основного состояния конденсата надо вычесть вклад данной пары состояний (это относительно громоздкое выражение, учитывающее с факторами $v_{\mathbf{k}}$ и $u_{\mathbf{k}}$ кин. энергию пары электронов и отрицательную энергию их взаимодействия при обмене виртуальным фононом) и прибавить с фактором $1$ кин. энергию одного электрона. Получается энергия, не меньшая, чем $\Delta$ - величина щели в спектре возбуждений.

Куперовская пара разрушается (нарушается упоминавшееся коррелированное заполнение пары состояний электронами) при переходе одного из электронов пары из состояния, скажем, $\mathbf{k}_1,\uparrow$ в какое-то другое состояние $\mathbf{k}_2,\uparrow.$ Которое, следовательно, до перехода было свободным. И, значит, было свободным и парное ему состояние $-\mathbf{k}_2,\downarrow$ (т.к. считаем, что все остальные куперовские пары целы, ну или разрушенных пар пренебрежимо мало). А электрон-партнёр остался в своём состоянии $-\mathbf{k}_1,\downarrow$ в одиночестве. Таким образом, разрушенная куперовская пара это два стационарно занятых состояния: $\mathbf{k}_2,\uparrow$ и $-\mathbf{k}_1,\downarrow$ с $\mathbf{k}_2 \neq -\mathbf{k}_1;$ т.е. это два одночастичных возбуждения, и, значит, их суммарная энергия не меньше $2 \Delta.$

Допустим, теперь рассматриваем рассеяние одного электрона в конденсате на реальном фононе. Ну так это ведь такой же переход электрона, как при описанном выше разрушении куперовской пары. Значит, могут поглощаться лишь фононы с энергией не меньшей $2 \Delta.$ (Опыты по затуханию ультразвука в сверхпроводнике это подтверждают.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сверхпроводимость и критерий Ландау
Сообщение06.03.2021, 14:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2), рад Вас слышать. С возвращением!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сверхпроводимость и критерий Ландау
Сообщение06.03.2021, 14:42 


17/09/09
224
Cos(x-pi/2)
Спасибо! Я намеренно не писал свои рассуждения. Я рассуждал так: на самом деле, $p_s$ не есть импульс (индивидуальный) пары. Он определяется как градиент фазы волновой функции всего движущегося конденсата. В результате изменение импульса всего конгломерата пар, т.е. переход в состояние $p\neq p_s$ означает изменение импульса всего конденсата как целого, что, видимо, невозможно в одном акте рассеяния. Тоже самое по-другому: полная энергия конденсата $E(p-p_s)$ имеет минимум при $p=p_s$, в результате переход в любое $p\neq p_s$ сопровождается повышением энергии системы, что невозможно при упругом рассеянии. Насколько это эквивалентно (или нет) вашим рассуждениям - надо подумать.

-- Сб мар 06, 2021 18:49:41 --

В догонку. Ну, и как я понимаю, считать рассеяние на фононах упругим или нет - это зависит от конкретной системы. Обычно, например, в вырожденных полупроводниках или металлах, рассеяние электронов на фононах можно считать упругим т.к. выполняется сильное неравенство $p_F\gg mc$, где первое - это импульс Ферми, а второе - скорость звука. Такого неравенства в конденсате нет, поэтому не очевидно что столкновения с фононом можно считать упругим.

-- Сб мар 06, 2021 18:55:44 --

Вот интересно также: если я запишу честно Гамильтониан взаимодействия электронов с фононами, сделаю в нем преобразование боголюбова для перехода к амплитудам $u_k$ и $v_k$, после чего вычислю вероятность рассеяния, получится ли там какая-то пороговость процесса, типа вероятность равна нулю если что-то (?) меньше величины щели $\Delta$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сверхпроводимость и критерий Ландау
Сообщение06.03.2021, 19:41 
Заслуженный участник


29/09/14
1144

(amon)

Спасибо Вам за добрые слова в мой адрес, и, конечно, за Ваши неизменно интересные познавательные комментарии на форуме - читаю их всегда с удовольствием. А "возвращения", скорее всего, не будет: я уже развращён прелестью лентяйского неучастия в публичных обсуждениях.

Просто эта тема "зацепила": когда-то давно я пытался подобным образом отвечать на вопросы о сверхпроводимости студентам-техникам. Но, похоже, здесь уровень подготовки ТС заметно превышает мои крайне скромные познания в теории, так что вряд ли смогу добавить что-либо толковое.


Kamaz
Даже значительное изменение импульса всего конденсата как целого может ещё не означать разрушения сверхпроводящего состояния; пример: медленным изменением внешнего магнитного поля в эффекте Мейсснера вызывается просто соответствующее изменение тока конденсата, а не его затухание во времени. Соответствие между почти статическим распределением магнитного поля и распределением плотности тока (в сверхпроводящем теле на глубине проникновения) - то самое, которое даётся обычным уравнением Максвелла; для простоты пусть речь идёт о сверхпроводнике 1-го рода.

Моя попытка подробного пояснения относилась к словам в стартовом сообщении: "при рассеянии пары на фононе энергия пары может не измениться, а изменится ее импульс" и "В результате, выбивание пар из состояния с $p=p_s$ в любое другое $p\neq p_s$ должно приводить к релаксации сверхтекучего тока, т.е. к его затуханию, т.е. к отсутствию сверхпроводимости."

Если кратко, то в пояснении я говорил, что рассеяние одной конденсатной пары на фононе это то же самое, что возбуждение из конденсата фононом двух неспаренных электронов, и для этого энергия поглощаемого фонона должна быть не меньше $2 \Delta.$

Ведут ли процессы рассеяния электронов на фононах к отсутствию сверхпроводимости - отдельный вопрос; действительно:

Когда сверхтекучий ток затухает? И родственный вопрос: когда сверхпроводящее состояние переходит в нормальное (т.е. полностью исчезает парная корреляция в распределении электронов по импульсам)? Ответ примерно такой: тогда, когда энергия сверхпроводящего состояния превысит энергию нормального состояния той же системы (правильнее вести речь о свободной энергии).

Например, увеличиваем магнитное поле при фиксированной очень низкой температуре (так что можно пренебречь наличием одночастичных возбуждений - неспаренных электронов). Плотность сверхтекучего тока возрастает (согласно уравнению Максвелла). Значит, увеличивается $p_s,$ так что вся "сфера Ферми", включая слой с куперовскими парами, съезжает в направлении $\mathbf{p}_s.$ Поэтому освобождаются одноэлектронные состояния с импульсами в противоположном направлении. Поскольку эти состояния расположены ближе к началу координат в импульсном пространстве, то кин. энергия для них меньше. Значит, при переходе в такое состояние электрона из пары с большим импульсом получается выигрыш в кин.энергии, хотя и остаётся проигрыш порядка $\Delta$ из-за разрушения пары. Чем больше плотность сверхтекучего тока, тем больше указанный выигрыш в кин. энергии электрона при распаривании, и когда он превзойдёт проигрыш, распаривание станет энергетически выгодным. Отсюда видно, что возникают понятия критической плотности тока и критического магнитного поля.

Другой пример: увеличиваем температуру $T$ (однако пусть $T<T_c$) при фиксированном внешнем магнитном поле (в том числе равном нулю в частном случае). Тепловые фононы, поглощаясь электронами конденсата, разрушают сколько-то пар, но идут и обратные процессы - образование пар с испусканием фононов. Тем самым, при каждой температуре $T<T_c$ в тепловом равновесии имеем динамическое равновесие конденсата и одночастичного "газа": есть ненулевая концентрация нормальных электронов и ненулевая концентрация электронов в конденсате. Чем выше температура, тем больше нормальных электронов. И тем меньше конденсатных, поэтому тем с большим импульсом с большей скоростью конденсат должен течь, чтобы плотность тока (на глубине проникновения, которая тоже зависит от температуры) соответствовала бы заданному магнитному полю у поверхности тела. Отсюда можно заметить, что критический ток и поле убывают с ростом температуры; они обращаются в ноль при $T=T_c.$ При критической $T=T_c$ и более высокой температуре тепловыми фононами разрушены все куперовские пары.

По вычислениям с гамильтонианом электрон-фононного взаимодействия не возьмусь советовать (могу лишь высказать тривиальное предположение: вероятность перехода определяется не только матричным элементом, но и плотностью конечных состояний, а поскольку в плотности состояний одноэлектронных возбуждений сверхпроводника есть щель, то эта щель и даст "пороговость" вероятности для переходов с распариванием пар). Литературы на такую теор. тему должно быть много. В частности, вот навскидку попался вроде подробный обзор (наверное интересный) в старом УФН - там говорится о взаимодействии электронов и с тепловыми фононами и со звуком, есть формулы с результатами $u,v-$преобразования: Кинетические явления в сверхпроводниках, Б.Т. Гейликман, В.З. Кресин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сверхпроводимость и критерий Ландау
Сообщение09.03.2021, 17:24 


17/09/09
224
Cos(x-pi/2)
Спасибо за пояснения и за ссылку!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group