Сверхпроводимость и критерий Ландау

[Kamaz]

Всем здравствуйте! Представим себе сверхпроводник при нулевой температуре. Имеем конденсат куперовских пар. Пусть конденсат равномерно движется, значит все пары движутся с импульсом (центра масс) $p_s$. Как известно, это движение - сверхтекучее, и может длиться вечно. Поставим вопрос: пусть имеется рассеяние пар на фононах, например. Критерий Ландау говорит о том, что трения появится, если в конденсате начнут возникать возбуждения - для этого куперовской паре надо преодолеть барьер, равный ширине сверхпроводящей щели. Это же утверждение можно переписать в терминах критической скорости. В целом суть утверждения: к трению приводят неупругие процессы. Однако при низких температурах, как известно, рассеяние на фононах практически упругое. Следовательно, при рассеянии пары на фононе, энергия пары может не измениться, а измениться ее импульс - все состояния с импульсами $p\neq p_s$ свободные. В результате, выбивание пар из состояния с $p=p_s$ в любое другое $p\neq p_s$ должно приводить к релаксации сверхтекучего тока, т.е. к его затуханию, т.е. к отсутствию сверхпроводимости.

1) Где ошибка в качественных рассуждениях?
2) Как правильное доказать неверность рассуждения прямым вычислением на уровне расчета матричных элементов рассеяния?

[Cos(x-pi/2)]

1) ИМХО:

Дело в том, что энергия пары в конденсате, как и энергия одночастичных возбуждений (т.е. состояний, выбывших из конденсата) это "коллективный эффект" - результат своего рода "когерентной" квантовой динамики электронов в конденсате, и поэтому нельзя утверждать, будто пара способна перейти в состояние с другим своим суммарным импульсом $(p\neq p_s)$ без изменения энергии конденсата.

(Попытка пояснить подробнее)

(с неизбежной занудностью):

Наглядно конденсат лучше себе представлять не картиной течения электронов в $\mathbf{r}-$пространстве (которая, к тому же, не является пространственно однородной: ток течёт только в слоях толщиной порядка т.н. глубины проникновения), а локальной картиной распределения электронов в фазовом пространстве по парам одночастичных состояний $\mathbf{p}_s/2+\mathbf{k},\uparrow$ и $\mathbf{p}_s/2-\mathbf{k},\downarrow.$ А именно:

В отсутствие одночастичных возбуждений конденсат характеризуется корреляцией заполнения электронами таких пар состояний - пара состояний либо занята двумя электронами, либо свободна от электронов. (И, конечно, как обычно, принцип запрета Паули действует для каждого одночастичного состояния, т.к. речь идёт о заполнении фермионами; думать же о подобном принципе запрета для пар в целом нет большого смысла, т.к. пара электронов в этом смысле - бозон.)

"Когерентность" квантовой динамики электронов в конденсате математически проявляется в том, что заполнение упомянутых пар состояний описывается комплексной амплитудой вероятности $v_{\mathbf{k}}$ того, что пара занята (двумя электронами) и комплексной амплитудой вероятности $u_{\mathbf{k}}$ того, что пара свободна. Электроны в парах с импульсами $k$, по величине близкими к фермиевскому $p_F,$ всё время обмениваются виртуальными фононами, поэтому импульсы этих электронов всё время изменяются (правильнее сказать на языке квантовой механики - не имеют определённого значения), и вот поэтому для описания распределения электронов по парам состояний нужны квантовые амплитуды $v_{\mathbf{k}},$ $u_{\mathbf{k}}.$ И, как показывает расчёт энергии системы, основное состояние, т.е. минимум энергии системы реализуется при условии, что фазы величин $u_{\mathbf{k}}^*v_{\mathbf{k}}$ c разными $\mathbf{k}$ одинаковы - вот так проявляется "когерентность" конденсата. (В состоянии без тока эту фазу можно выбрать равной нулю, а величины $u_{\mathbf{k}}$ и $v_{\mathbf{k}}$ - вещественными.)

В этой картине одночастичное возбуждение (с импульсом $\mathbf{k})$ представляет собой пару состояний с нарушенной корреляцией заполнения - в паре только одно состояние заселено электроном, притом стационарно; можно, например, считать, что это возбуждение типа "электрон в состоянии $\mathbf{k},\uparrow или "дырка" в состоянии $\mathbf{-k},\downarrow.$ Этот электрон, образно говоря, как собака на сене: из-за принципа запрета он мешает забегать в данную пару ячеек другим парам электронам соответственно их когерентной конденсатной динамике. Поэтому энергию одночастичного возбуждения можно оценить так: из энергии основного состояния конденсата надо вычесть вклад данной пары состояний (это относительно громоздкое выражение, учитывающее с факторами $v_{\mathbf{k}}$ и $u_{\mathbf{k}}$ кин. энергию пары электронов и отрицательную энергию их взаимодействия при обмене виртуальным фононом) и прибавить с фактором $1$ кин. энергию одного электрона. Получается энергия, не меньшая, чем $\Delta$ - величина щели в спектре возбуждений.

Куперовская пара разрушается (нарушается упоминавшееся коррелированное заполнение пары состояний электронами) при переходе одного из электронов пары из состояния, скажем, $\mathbf{k}_1,\uparrow$ в какое-то другое состояние $\mathbf{k}_2,\uparrow.$ Которое, следовательно, до перехода было свободным. И, значит, было свободным и парное ему состояние $-\mathbf{k}_2,\downarrow$ (т.к. считаем, что все остальные куперовские пары целы, ну или разрушенных пар пренебрежимо мало). А электрон-партнёр остался в своём состоянии $-\mathbf{k}_1,\downarrow$ в одиночестве. Таким образом, разрушенная куперовская пара это два стационарно занятых состояния: $\mathbf{k}_2,\uparrow$ и $-\mathbf{k}_1,\downarrow$ с $\mathbf{k}_2 \neq -\mathbf{k}_1;$ т.е. это два одночастичных возбуждения, и, значит, их суммарная энергия не меньше $2 \Delta.$

Допустим, теперь рассматриваем рассеяние одного электрона в конденсате на реальном фононе. Ну так это ведь такой же переход электрона, как при описанном выше разрушении куперовской пары. Значит, могут поглощаться лишь фононы с энергией не меньшей $2 \Delta.$ (Опыты по затуханию ультразвука в сверхпроводнике это подтверждают.)

[amon]

(Оффтоп)

Cos(x-pi/2), рад Вас слышать. С возвращением!

[Kamaz]

Cos(x-pi/2)
Спасибо! Я намеренно не писал свои рассуждения. Я рассуждал так: на самом деле, $p_s$ не есть импульс (индивидуальный) пары. Он определяется как градиент фазы волновой функции всего движущегося конденсата. В результате изменение импульса всего конгломерата пар, т.е. переход в состояние $p\neq p_s$ означает изменение импульса всего конденсата как целого, что, видимо, невозможно в одном акте рассеяния. Тоже самое по-другому: полная энергия конденсата $E(p-p_s)$ имеет минимум при $p=p_s$, в результате переход в любое $p\neq p_s$ сопровождается повышением энергии системы, что невозможно при упругом рассеянии. Насколько это эквивалентно (или нет) вашим рассуждениям - надо подумать.

-- Сб мар 06, 2021 18:49:41 --

В догонку. Ну, и как я понимаю, считать рассеяние на фононах упругим или нет - это зависит от конкретной системы. Обычно, например, в вырожденных полупроводниках или металлах, рассеяние электронов на фононах можно считать упругим т.к. выполняется сильное неравенство $p_F\gg mc$, где первое - это импульс Ферми, а второе - скорость звука. Такого неравенства в конденсате нет, поэтому не очевидно что столкновения с фононом можно считать упругим.

-- Сб мар 06, 2021 18:55:44 --

Вот интересно также: если я запишу честно Гамильтониан взаимодействия электронов с фононами, сделаю в нем преобразование боголюбова для перехода к амплитудам $u_k$ и $v_k$, после чего вычислю вероятность рассеяния, получится ли там какая-то пороговость процесса, типа вероятность равна нулю если что-то (?) меньше величины щели $\Delta$?

[Cos(x-pi/2)]

(amon)

Спасибо Вам за добрые слова в мой адрес, и, конечно, за Ваши неизменно интересные познавательные комментарии на форуме - читаю их всегда с удовольствием. А "возвращения", скорее всего, не будет: я уже развращён прелестью лентяйского неучастия в публичных обсуждениях.

Просто эта тема "зацепила": когда-то давно я пытался подобным образом отвечать на вопросы о сверхпроводимости студентам-техникам. Но, похоже, здесь уровень подготовки ТС заметно превышает мои крайне скромные познания в теории, так что вряд ли смогу добавить что-либо толковое.

Kamaz
Даже значительное изменение импульса всего конденсата как целого может ещё не означать разрушения сверхпроводящего состояния; пример: медленным изменением внешнего магнитного поля в эффекте Мейсснера вызывается просто соответствующее изменение тока конденсата, а не его затухание во времени. Соответствие между почти статическим распределением магнитного поля и распределением плотности тока (в сверхпроводящем теле на глубине проникновения) - то самое, которое даётся обычным уравнением Максвелла; для простоты пусть речь идёт о сверхпроводнике 1-го рода.

Моя попытка подробного пояснения относилась к словам в стартовом сообщении: "при рассеянии пары на фононе энергия пары может не измениться, а изменится ее импульс" и "В результате, выбивание пар из состояния с $p=p_s$ в любое другое $p\neq p_s$ должно приводить к релаксации сверхтекучего тока, т.е. к его затуханию, т.е. к отсутствию сверхпроводимости."

Если кратко, то в пояснении я говорил, что рассеяние одной конденсатной пары на фононе это то же самое, что возбуждение из конденсата фононом двух неспаренных электронов, и для этого энергия поглощаемого фонона должна быть не меньше $2 \Delta.$

Ведут ли процессы рассеяния электронов на фононах к отсутствию сверхпроводимости - отдельный вопрос; действительно:

Когда сверхтекучий ток затухает? И родственный вопрос: когда сверхпроводящее состояние переходит в нормальное (т.е. полностью исчезает парная корреляция в распределении электронов по импульсам)? Ответ примерно такой: тогда, когда энергия сверхпроводящего состояния превысит энергию нормального состояния той же системы (правильнее вести речь о свободной энергии).

Например, увеличиваем магнитное поле при фиксированной очень низкой температуре (так что можно пренебречь наличием одночастичных возбуждений - неспаренных электронов). Плотность сверхтекучего тока возрастает (согласно уравнению Максвелла). Значит, увеличивается $p_s,$ так что вся "сфера Ферми", включая слой с куперовскими парами, съезжает в направлении $\mathbf{p}_s.$ Поэтому освобождаются одноэлектронные состояния с импульсами в противоположном направлении. Поскольку эти состояния расположены ближе к началу координат в импульсном пространстве, то кин. энергия для них меньше. Значит, при переходе в такое состояние электрона из пары с большим импульсом получается выигрыш в кин.энергии, хотя и остаётся проигрыш порядка $\Delta$ из-за разрушения пары. Чем больше плотность сверхтекучего тока, тем больше указанный выигрыш в кин. энергии электрона при распаривании, и когда он превзойдёт проигрыш, распаривание станет энергетически выгодным. Отсюда видно, что возникают понятия критической плотности тока и критического магнитного поля.

Другой пример: увеличиваем температуру $T$ (однако пусть $T<T_c$) при фиксированном внешнем магнитном поле (в том числе равном нулю в частном случае). Тепловые фононы, поглощаясь электронами конденсата, разрушают сколько-то пар, но идут и обратные процессы - образование пар с испусканием фононов. Тем самым, при каждой температуре $T<T_c$ в тепловом равновесии имеем динамическое равновесие конденсата и одночастичного "газа": есть ненулевая концентрация нормальных электронов и ненулевая концентрация электронов в конденсате. Чем выше температура, тем больше нормальных электронов. И тем меньше конденсатных, поэтому тем с большим импульсом с большей скоростью конденсат должен течь, чтобы плотность тока (на глубине проникновения, которая тоже зависит от температуры) соответствовала бы заданному магнитному полю у поверхности тела. Отсюда можно заметить, что критический ток и поле убывают с ростом температуры; они обращаются в ноль при $T=T_c.$ При критической $T=T_c$ и более высокой температуре тепловыми фононами разрушены все куперовские пары.

По вычислениям с гамильтонианом электрон-фононного взаимодействия не возьмусь советовать (могу лишь высказать тривиальное предположение: вероятность перехода определяется не только матричным элементом, но и плотностью конечных состояний, а поскольку в плотности состояний одноэлектронных возбуждений сверхпроводника есть щель, то эта щель и даст "пороговость" вероятности для переходов с распариванием пар). Литературы на такую теор. тему должно быть много. В частности, вот навскидку попался вроде подробный обзор (наверное интересный) в старом УФН - там говорится о взаимодействии электронов и с тепловыми фононами и со звуком, есть формулы с результатами $u,v-$преобразования: Кинетические явления в сверхпроводниках, Б.Т. Гейликман, В.З. Кресин.

[Kamaz]

Cos(x-pi/2)
Спасибо за пояснения и за ссылку!