ну немагу решить и всё тут

[ruth]

Ок. Решаем полностью.
1. Выразим а1 - а6 через а1 и а2.
Получаем:
а1: а1
а2: а2
а3: а1+а2
а4: а1+2а2
а5: 2а1+3а2
а6: 3а1+5а2
Сложим все, что у нас в правом столбике. Получаем: искомая сумма равна 8а1+12а2=4(2а1+3а2)=4*а5 = 28.

[Профессор Снэйп]

Если не искать решение, доступное семикласснику, а воспользоваться методами линейной алгебры, то получается довольно интересно.

Пусть

$$ A = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) $$

и

$$ x_n = \left(\begin{array}{c} a_{n+1} \\ a_{n+2} \end{array}\right) $$

Тогда $x_n = A^n x_0$. Пусть $s_k = x_0 + \cdots + x_k$. Эта сумма, очевидно, равна

$$ s_k = (A^0 + A^1 + \cdots + A^k)x_0 = (A^{k+1}-E)(A-E)^{-1}x_0 $$

Характеристический многочлен матрицы $A$ равен $\lambda^2 - \lambda - 1$, так что $A^2 = A + E$. Отсюда индукцией по $k$ легко получить, что

$$ A^{k+1} = \phi_{k+1}A + \phi_k E, $$

где $\phi_n$ есть $n$-ое число Фибоначчи при любом натуральном $n$. Далее,

$$ (A - E)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) $$

Таким образом,

$$ x_{k+1} = A^{k+1}x_0 = \left(\begin{array}{cc} \phi_k & \phi_{k+1} \\ \phi_{k+1} & \phi_{k+2} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \phi_k a_1 + \phi_{k+1} a_2 \\ \phi_{k+1}a_1 + \phi_{k+2} a_2 \end{array}\right) $$

и

$$ s_k = \left(\begin{array}{cc} \phi_k-1 & \phi_{k+1} \\ \phi_{k+1} & \phi_{k+2}-1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) x_0 = \left(\begin{array}{c} \phi_{k+1}a_1 + (\phi_{k+2}-1) a_2 \\ (\phi_{k+2}-1)a_1 + (\phi_{k+3}-1) a_2 \end{array}\right) $$

Из этих мощных фактов уже можно извлекать всё, что надо. К примеру, посмотрим нашу конкретную задачу.

Имеем

$$ \left(\begin{array}{c} a_5 \\ a_6 \end{array}\right) = x_4 = \left(\begin{array}{c} 2a_1 + 3a_2 \\ 3a_1 + 5a_2 \end{array}\right) $$

откуда $2a_1+3a_2 = 7$. Далее,

$$ s_5 = \left(\begin{array}{c} \phi_6 a_1 + (\phi_7 -1)a_2 \\ (\phi_7-1)a_1 + (\phi_8-1)a_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 8a_1 + 12a_2 \\ 12a_1 + 20a_2 \end{array}\right) $$

В задаче требуется найти первую компоненту вектора $s_5$. Она равна $8a_1 + 12a_2 = 4(2a_1 + 3a_2) = 4 \cdot 7 = 28$. Таким образом, число $28$ и будет искомым ответом.

P. S. Автор темы: снимите с задачи метку "математическая логика". Она тут ну совершенно не при чём!!!

[Бодигрим]

Профессор Снэйп в сообщении #150758 писал(а):

Если не искать решение, доступное семикласснику, а воспользоваться методами линейной алгебры, то получается довольно интересно.

Ну, по сути линейная алгебра здесь и ни при чем. Достаточно знать или догадаться, как выражается обобщенная (т. е. с произвольными начальными членами) последовательность Фибоначчи через стандартную, и знать или придумать формулу для суммирования чисел Фибоначчи ($\sum_{k=1}^n f_k = f_{n+2}-1$).

[ewert]

Бодигрим писал(а):

ewert в сообщении #150605 писал(а):

а просто тупым перебором допустимых первых двух чисел (там всего 4 варианта).

В условии ничего не говорится о натуральности чисел.

Именно об том и речь: если не требовать натуральности, то придётся полюбопытствовать насчёт бабушки.

Добавлено спустя 7 минут 29 секунд:

Xaositect писал(а):

Нет, потому что случаев не 3, а бесконечно много.

Если числа -- натуральные, то случаев не более четырёх: (1,1), (1,2), (2,1) и (2,2). Поскольку в последнем случае пятый член уже зашкаливает, дальше перебирать не нужно. И это -- принципиальное свойство задачи.

Если допустимы отрицательные числа, то задача некорректна. В том смысле, что пропорциональность пятого члена и суммы -- случайность, изначально этого не видно. А подход к задаче, основанный на угадывании мыслей составителя -- откровенно неспортивен.

[Бодигрим]

ewert в сообщении #150811 писал(а):

Если допустимы отрицательные числа, то задача некорректна.

Не некорректна, а олимпиадна. Вообщем-то классическая задача при подготовке к районной/городской олимпиаде для школьников.

[ewert]

Это если олимпиада ориентирована на воспитание жульничества, а не на развитие математического мышления.

[Бодигрим]

ewert в сообщении #151261 писал(а):

Это если олимпиада ориентирована на воспитание жульничества, а не на развитие математического мышления.

Ну, на что наши ученические олимпиады ориентированы - не знаю, но - факт есть факт - это классическая задача. И я, и многие мои товарищи спокойно решали ее и подобные ей. Стандартное рассуждение - "ввяжемся в бой, потом разберемся": вначале все выразим, потом попробуем обнаружить зависимость. Уверенность рассуждениям придавала уверенность в корректности постановки задачи.