2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как был осуществлен переход?
Сообщение28.02.2021, 23:51 


30/06/18
56
Здравствуйте! Не могли бы вы расписать то,как был осуществлен переход? " Разлагая выражение $ \frac{1}{\sqrt{E-U(x)-\delta U(x)}} $ по степеням $\delta U(x)$ , получаем
$$ \frac{1}{\sqrt{E-U(x)}} + \frac{1}{2}\frac{\delta U(x)}{[E-U(x)]^\frac{3}{2}}$$ "
В данном случае мне не совсем понятна фраза "разложить по степеням". Предполагаю,что тут применили разложение в ряд Тейлора и метод неопределенных коэффициентов

 Профиль  
                  
 
 Re: Как был осуществлен переход?
Сообщение01.03.2021, 00:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да, если разложить $1/\sqrt{A - x}$ в ряд Тейлора по $x$ в нуле, выйдет $$\frac1{\sqrt A} + \frac x{2 A^{3/2}} + \frac{3 x^2}{8 A^{5/2}} + \ldots,$$ где остаток проигнорировали, и если авторы совсем ни слова об этом не написали, то плохо. А метод неопределённых коэффициентов тут не понадобится.

-- Пн мар 01, 2021 02:07:53 --

Понятно, что наверно предполагается все высшие степени $\delta U(x)$ выкинуть, потому что скорее всего дальше достаточно только линейного по ней выражения, но всё же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как был осуществлен переход?
Сообщение01.03.2021, 01:04 


30/06/18
56
arseniiv Мда, делов то,как оказалось :) Большое спасибо за разъяснение!
Цитата:
где остаток проигнорировали, и если авторы совсем ни слова об этом не написали, то плохо. А метод неопределённых коэффициентов тут не понадобится.
Все, что было сказано в условии задачи касательно $\delta U(x)$ -это то,что это слагаемое представляет собой малую добавку.

(Оффтоп)

Это задача 1.8 из сборника по классической механике Коткина и Сербо

 Профиль  
                  
 
 Re: Как был осуществлен переход?
Сообщение01.03.2021, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
При большом желании можно использовать и метод неопределённых коэффициентов. Пусть искомое разложение $\frac 1 {\sqrt{A-x}}$ имеет вид $c_0+c_1 x+...$, тогда
$(A-x)(c_0+c_1 x+...)^2=1$
Соберём и приравняем коэффициенты при нулевой и первой степени $x$, получим уравнения
$Ac_0^2=1$
$2Ac_1-c_0=0$,
из которых тоже получается то, что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как был осуществлен переход?
Сообщение02.03.2021, 15:31 


30/06/18
56
svvБлагодарю за ответ!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как был осуществлен переход?
Сообщение02.03.2021, 15:52 
Аватара пользователя


11/12/16
14039
уездный город Н
И ещё один способ, который растёт из ряда Тейлора.
В разложениях до линейного члена удобно пользоваться волшебной формулой $(1+\varepsilon)^{\alpha} \approx 1+ \varepsilon \alpha$, где $\varepsilon \ll 1$
Только на первом шаге нужно "обезразмерить":

$\frac{1}{\sqrt{A -x}} = A^{-\frac{1}{2}} (1 - \frac{x}{A})^{-\frac{1}{2}} \approx A^{-\frac{1}{2}} (1 +\frac{x}{2A})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как был осуществлен переход?
Сообщение04.03.2021, 00:16 


30/06/18
56
EUgeneUS Ах да, совсем забыл про это :) Благодарю!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group