Как был осуществлен переход?

[Asphy]

Здравствуйте! Не могли бы вы расписать то,как был осуществлен переход? " Разлагая выражение $ \frac{1}{\sqrt{E-U(x)-\delta U(x)}} $ по степеням $\delta U(x)$ , получаем

$$ \frac{1}{\sqrt{E-U(x)}} + \frac{1}{2}\frac{\delta U(x)}{[E-U(x)]^\frac{3}{2}}$$

"
В данном случае мне не совсем понятна фраза "разложить по степеням". Предполагаю,что тут применили разложение в ряд Тейлора и метод неопределенных коэффициентов

[arseniiv]

Да, если разложить $1/\sqrt{A - x}$ в ряд Тейлора по $x$ в нуле, выйдет

$$\frac1{\sqrt A} + \frac x{2 A^{3/2}} + \frac{3 x^2}{8 A^{5/2}} + \ldots,$$

где остаток проигнорировали, и если авторы совсем ни слова об этом не написали, то плохо. А метод неопределённых коэффициентов тут не понадобится.

-- Пн мар 01, 2021 02:07:53 --

Понятно, что наверно предполагается все высшие степени $\delta U(x)$ выкинуть, потому что скорее всего дальше достаточно только линейного по ней выражения, но всё же.

[Asphy]

arseniiv Мда, делов то,как оказалось :) Большое спасибо за разъяснение!

Цитата:

где остаток проигнорировали, и если авторы совсем ни слова об этом не написали, то плохо. А метод неопределённых коэффициентов тут не понадобится.

Все, что было сказано в условии задачи касательно $\delta U(x)$ -это то,что это слагаемое представляет собой малую добавку.

(Оффтоп)

Это задача 1.8 из сборника по классической механике Коткина и Сербо

[svv]

При большом желании можно использовать и метод неопределённых коэффициентов. Пусть искомое разложение $\frac 1 {\sqrt{A-x}}$ имеет вид $c_0+c_1 x+...$, тогда
$(A-x)(c_0+c_1 x+...)^2=1$
Соберём и приравняем коэффициенты при нулевой и первой степени $x$, получим уравнения
$Ac_0^2=1$
$2Ac_1-c_0=0$,
из которых тоже получается то, что нужно.

[Asphy]

svvБлагодарю за ответ!

[EUgeneUS]

И ещё один способ, который растёт из ряда Тейлора.
В разложениях до линейного члена удобно пользоваться волшебной формулой $(1+\varepsilon)^{\alpha} \approx 1+ \varepsilon \alpha$, где $\varepsilon \ll 1$
Только на первом шаге нужно "обезразмерить":

$\frac{1}{\sqrt{A -x}} = A^{-\frac{1}{2}} (1 - \frac{x}{A})^{-\frac{1}{2}} \approx A^{-\frac{1}{2}} (1 +\frac{x}{2A})$

[Asphy]

EUgeneUS Ах да, совсем забыл про это :) Благодарю!