Дробная производная.

[Dan B-Yallay]

С наступлением весны захотелось взять дробную (ровно треть) производную от синуса. Беру определение (For a general function $f (x)$ and $0 < \alpha < 1$, the complete fractional derivative is):

$$ \displaystyle {D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.} $$

и понимаю, что Гамму от 2/3 я в какой-нибудь таблице найду, а вот при взятии производной от интеграла с переменным пределом, я получу тождественный ноль в знаменателе. Имею ступор.

ЧЯДНТ?

[Otta]

Откуда ж там нулю-то быть?

[Dan B-Yallay]

Otta в сообщении #1507557 писал(а):

Откуда ж там нулю-то быть?

Разве верхний предел интеграла не подставится вместо $t$ согласно Лейбницa?

[Otta]

Ну положим, подставится. (Хотя не подставится.)
И ноль-то откуда?

-- 03.03.2021, 08:17 --

Dan B-Yallay
Ай, мои извинения. Я косая, про

Dan B-Yallay в сообщении #1507554 писал(а):

в знаменателе

не заметила. Ну да. Если бы формула Лейбница в этом случае работала, то был бы ноль в знаменателе. Но она не работает.

[Dan B-Yallay]

Otta в сообщении #1507562 писал(а):

Ну положим, подставится. (Хотя не подставится.)
И ноль-то откуда?

Я так и предполагаю, что где-то портачу, нo не могу найти.
Пользуюсь следующим вариантом правила Лейница, который описывает мой случай:

$$ \frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt $$

где у меня $ a =0, $ $f(x,t)= \dfrac {\sin t}{(x-t)^{1/3}}$, соответственно

$$ \frac {d}{dx}}\left(\int _{0}^{x}\dfrac{\sin(t)}{(x-t)^{1/3}}dt\right)=\dfrac {\sin x}{(x-x)^{1/3}}+\int _{0}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}} \Big(\dfrac {\sin x}{(x-t)^{1/3}}\Big)dt $$

и в первом слагаемом в правой части красуется ноль в знаменателе.

-- Вт мар 02, 2021 21:27:12 --

Otta в сообщении #1507562 писал(а):

Если бы формула Лейбница в этом случае работала, то был бы ноль в знаменателе. Но она не работает.

Тогда возникает закономерный вопрос "почему?" . Я как-то не встречал ранее каких-либо ограничений на правило Лейбница.

[Otta]

Dan B-Yallay в сообщении #1507563 писал(а):

и в первом слагаемом в правой части красуется ноль в знаменателе.

Потому что в таких условиях правило Лейбница не применяется. У Вас подынтегральная функция не непрерывна.

-- 03.03.2021, 08:37 --

Dan B-Yallay в сообщении #1507563 писал(а):

Тогда возникает закономерный вопрос "почему?" . Я как-то не встречал ранее каких-либо ограничений на правило Лейбница.

Ну как же. В той страничке, на которую Вы ссылаетесь вот тут: post1507561.html#p1507561 все условия есть )

Правда, как водится, чтобы не отпугивать публику, их хорошо спрятали.

Коротко говоря, если бы правило Лейбница тут работало, то и дробные производные были бы незачем. Это обобщение, и оно исходит из аксиоматического навязывания, пусть, мол, есть некий объект, для которого все будет так же определяться, как и в частном случае, когда интеграл и производная взаимно обратны. Определяться - да. Считать уже так не выйдет.

[Dan B-Yallay]

Otta в сообщении #1507564 писал(а):

У Вас подынтегральная функция не непрерывна.

Так. Вот этого слона-то я и не приметил.
Мне казалось, что непрерывности внутри интервала $(0,x)$ достаточно.
Спасибо Вам!

[Otta]

Dan B-Yallay в сообщении #1507565 писал(а):

Мне казалось, что непрерывности внутри интервала $(0,x)$ достаточно.

Для интегралов, зависящих от параметра, как здесь, условия еще более жесткие, там еще и непрерывность производной по параметру нужна.

Мне не лень было, я ее посчитала, эту производную, она очень невкусная. Сплошные гипергеометрические функции.
Гораздо симпатичнее производная порядка $1/2$.

[Dan B-Yallay]

Otta в сообщении #1507567 писал(а):

Гораздо симпатичнее производная порядка $1/2$.

Наверное. Но вот сердцу в марте не прикажешь, приспичило именно одну треть производной найти.

Ладно. Пойду мучиться с ней до появления первых признаков оскомины.

[geomath]

Пример с синусом рассмотрен в Википедии: два раза взяли производную порядка 1/2 - получили косинус. А нельзя прямо здесь рассмотреть какое-нибудь популярное дифференциальное уравнение с дробной производной вместо обыкновенной, например логистическое?

[novichok2018]

Уравнения - столько книг есть, можно посмотреть. Из проверенных - лекции Килбаса, Самко/Килбас/Маричев, Килбас/Трухильо, Подлюбный и тд. Всё лежит в известных закромах.
Про синус - Вы хотите взять от него дробную производную Римана-Лиувилля. На самом деле с ней проблемы, для периодических функций есть другое специальное определение - дробная производная Вейля. См. опять Самко/Килбас/Маричев или книгу Зигмунда.
Про правила Лейбница - для дробных производных они формулируются только в виде рядов, не конечных сумм. Есть такая теорема, если для оператора в естественных пространствах выполнено обычное правило Лейбница, то это только оператор умножения на функцию. Поэтому дробные производные не могут удовлетворять правилу Лейбница, как и не существует дробных производных с гладкими ядрами и тд.

(Оффтоп)

Хотя полно сейчас малограмотных исследователей и даже африканских негров (реальных), которые игнорируют эти теоремы, или делают вид, что их не знают, и пишут книги и статьи, которые заполонили литературу и журналы по дробным. Это хорошо организованный бизнес по публикациям псевдоматематического бреда, который крышуется заспециализировавшимися на этом журналами, редакциями и математиками, в том числе известными, некоторые из них публикуют по 200 статей в скопусе в год на подобные темы. Ну и миллионы перекрёстных ссылок друг на друга внутри этой разветвлённой шайки.

Если вернуться к определению дробной производной Римана-Лиувилля от синуса, то это не совсем естественно, цитирую Самко/Килбас/Маричев, с. 48:
Мы не останавливаемся здесь на дробном интегродифференцировании показательной функции $е^х$ и тригонометрических функций. Это
связано с существом дела: «римановская» форма дробного интегрирования, ... не дает естественной формулы типа...
Для экспонент есть выход в форме интегралов до бесконечности, а для тригонометрических функций - производные Вейля через ряды Фурье.
Вообще, эта книга содержит ответы на все основные вопросы по дробному интегродифференцированию, не зря её называют энциклопедией или библией по предмету.
P.S. посмотрел статью в вике, вызвала сомнения. Во-первых, в определении дробных интегралов нет условий на функции, без них они не всегда имеют смысл. В примере с синусом просто приведён ответ без обоснования. Мне непонятно, как его получили, уже первый интеграл в формуле для производной половинного порядка я не нашёл в справочниках, остальное тем более непонятно. Не зря нет английской версии.

-- 03.03.2021, 09:31 --

Otta - Для порядка 1/2 как Вы посчитали интеграл

$$ \int \frac{\sin(t)}{\sqrt{x-t}}\,dt $$

в любых пределах?

Оффтоп убран в теги. Просьба избегать такого сорта отступлений и лексики в учебном разделе.

[Otta]

novichok2018
Я его в любых пределах не считала. Я считала в указанных. Ну, интегралы Френеля вылезут, ничего особенного вроде.

[novichok2018]

Otta- с Френелем не понял, зато нашёл нужный интеграл в справочнике Интегралы и ряды, т.1, с.315, 2.5.5. ф.1. Как Вы правильно писали, гипергеометрия, и, похоже, непростая.
Dan B-Yallay - дробная производная (как и любой интегральный оператор) с производной снаружи, и продифференцированный под знаком интеграла --- это два разных выражения с разными областями определения. Так не всегда можно делать, только на гладких функциях, а это не наш случай.
Так что похоже, формулы в вике неправильные.

[Otta]

novichok2018 в сообщении #1507590 писал(а):

с Френелем не понял,

Делаете замену, новая переменная равна знаменателю. Считаете интеграл. Получится сумма двух интегралов Френеля, один на косинус умноженный, другой на синус. Дифференцировать их труда не представит, уже в традиционном смысле.

[geomath]

novichok2018 в сообщении #1507579 писал(а):

Уравнения - столько книг есть, можно посмотреть. Из проверенных - лекции Килбаса, Самко/Килбас/Маричев, Килбас/Трухильо, Подлюбный и тд. Всё лежит в известных закромах.

Да, скачал и посмотрел лекции Килбаса "Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка", 2009 г. Это нечестно. Тут проблема взять дробную производную хотя бы от синуса, а вы отсылаете к лекциям, где сам чёрт голову сломит.