Парадокс бесконечного пространства, заполненного зарядом

[sergey zhukov]

Нашел следующее разьяснение сущности гравитационного парадокса:

Возникновение гравитационного парадокса в теории Ньютона связано со следующим. Потенциал $\varphi$ и его градиент $\operatorname{grad} \varphi$ - величины ненаблюдаемые. Наблюдаемыми являются вторые производные потенциала $\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^i\partial x^k}\equiv \varphi_{ik}$, которые определяют относительные ускорения. Поэтому расходимости и неопределенности $\varphi$ и $\operatorname{grad} \varphi$ нельзя считать парадоксом. Для определения всех наблюдаемых $\varphi_{ik}$ теории Ньютона недостаточно. Из шести $\varphi_{ik}$ только три связаны уравнением $\varphi_{11}+\varphi_{22}+\varphi_{33}=4\pi G\rho$. Эту неопределенность в нахождении $\varphi_{ik}$ и следует называть гравитационным парадоксом.

Лучшее обьяснение, на мой взгляд.

Там же сказано, что теория гравитации Ньютона именно неприменима в этих условиях и наличие гравитационного парадокса указывает не ее неполноту и внутренние проблемы. Почему же аналогичный парадокс в электромагнетизме на это не указывает?

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1506824 писал(а):

Почему же аналогичный парадокс в электромагнетизме на это не указывает?

Потому что электрические заряды существуют двух противоположных знаков, и они в среднем полностью компенсируют друг друга.

[sergey zhukov]

realeugene
В таком случае в электромагнетизме этот парадокс не возникает потому, что бесконечное пространство, заполненное зарядом одного знака, просто невозможно по условию обязательной электронейтральности системы в целом.

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1506824 писал(а):

Потенциал $\varphi$ и его градиент $\operatorname{grad} \varphi$ - величины ненаблюдаемые.

Поясните насчёт градиента. Ускорение частицы в гравитационном поле равно $(-\operatorname{grad}\varphi)$, это формула (81.2) ЛЛ2.

sergey zhukov в сообщении #1506190 писал(а):

возникает парадокс, аналогичный гравитационному парадоксу - потенциал электрического поля всюду становится бесконечным

Но потенциал электрического поля тоже ненаблюдаем. Значит, и тут беспокоиться не о чем?

[sergey zhukov]

svv
Я понимаю это так, что наблюдаемое проявление гравитации - это приливные силы, которые зависят от вторых производных потенциала. Первые производные потенциала в свободно падающей системе отсчета ненаблюдаемы.

-- 28.02.2021, 05:54 --

svv в сообщении #1506921 писал(а):

Но потенциал электрического поля тоже ненаблюдаем. Значит, и тут беспокоиться не о чем?

Вторые производные этого потенциала ведь наблюдаемы, а теория не может определить их однозначно.

[Emergency]

sergey zhukov в сообщении #1506922 писал(а):

Первые производные потенциала в свободно падающей системе отсчета ненаблюдаемы.

Только если закрыть глаза. Правда тогда вообще ничто не наблюдаемо. :(

[svv]

sergey zhukov
Если я Вас правильно понимаю, в случае электростатики Вы считаете существенной частью парадокса именно неединственность поля при заданной плотности заряда.

Пусть $\rho$ задана, а $\mathbf E_1(\mathbf r)$ и $\mathbf E_2(\mathbf r)$ — два разных решения системы уравнений
$\operatorname{div}\mathbf E=4\pi\rho$
$\operatorname{rot}\mathbf E=0$
Тогда их разность $\mathbf E_0=\mathbf E_1-\mathbf E_2$ удовлетворяет уравнениям без источников:
$\operatorname{div}\mathbf E_0=0$
$\operatorname{rot}\mathbf E_0=0$
Легко убедиться, что у этой системы есть много ненулевых решений. Это однородные поля $\mathbf E_0=\operatorname{const}$, но не только! — например, $\mathbf E_0=x\mathbf e_x - y\mathbf e_y$.

Соответственно, ту же степень произвола в выборе решения имеет и исходная система при заданном $\rho(\mathbf r)$.

Так вот, если Вы полагаете, что в ОТО подобного «безобразия» не наблюдается — это совершенно не так. (И потому, в Вашем смысле, парадокс не решён и там.) Пусть в уравнениях Эйнштейна тензор энергии-импульса $T_{ik}$ всюду равен нулю. Тогда обращается в нуль и тензор Риччи $R_{ik}$, но отнюдь не тензор кривизны Римана $R_{ik\ell m}$. «Убрав» материю и другие поля, кроме гравитационного, мы получим не одно тривиальное решение (плоское пространство-время), а целый рой вакуумных решений.
Это при всём различии уравнений Эйнштейна (нелинейных) и Максвелла.

[sergey zhukov]

svv
Неоднозначность решения я уже понял. Теперь я думаю, что если эта неоднозначность касается ненаблюдаемых величин, то нет проблем (тут скорее вопрос в том, зачем мы вообще включаем ненаблюдаемые величины в свое описании и почему не можем без них обойтись). Но если именно наблюдаемые величины не могут быть однозначно определены - это странно.

В ОТО я разбираюсь плохо, но мне кажется, что все наблюдаемые величины она определяет однозначно. Ньютоновская же теория гравитации делает это только в случае, если поле на бесконечности положить равным нулю. Так всегда и следует делать, когда это возможно, чтобы избежать неоднозначности. Если этого сделать нельзя, то эта теория не определяет однозначно взаимное движение двух пробных частиц, а это, безусловно, величина наблюдаемая. Значит, тут проблема.

В электростатике как будто такая же проблема. В случае бесконечного равномерного распределения заряда мы, похоже, не можем предсказать взаимное движение двух пробных частиц. Это мне не понятно.

[realeugene]

Система уравнений линейная. Всегда можно добавить нулевые решения, и опять получить решение. Например, электромагнитные волны, если речь про электродинамику, или постоянное всюду поле, если про электростатику. В электростатике электрическое поле должно быть потенциальным: его ротор равен нулю.

В задаче обсуждаются дифференциальные уравнения в частных производных. Граничные условия (в данном случае, условия на бесконечности) в условиях задачи не заданы. Обычно, когда в условиях задачи упомянута некоторая симметрия, подразумевается такая же симметрия и граничных условий. Но это не обязательно. В данном случае, изотропия граничных условий отсекает постоянное всюду электрическое поле. И бесконечно возрастающее в некоторых направлениях на бесконечности поле.

[Emergency]

sergey zhukov в сообщении #1507287 писал(а):

Ньютоновская же теория гравитации делает это только в случае, если поле на бесконечности положить равным нулю. Так всегда и следует делать, когда это возможно, чтобы избежать неоднозначности. Если этого сделать нельзя, то эта теория не определяет однозначно взаимное движение двух пробных частиц, а это, безусловно, величина наблюдаемая. Значит, тут проблема.

Потенциал на бесконечности может быть любым, но он не определим - определима разность потенциалов, поэтому можно положить потенциал любым, но условный ноль удобнее.