Верещагин, Шень, задача 38

[novichok2018]

Если попробовать по простому, сначала отобразить [2;3] на интервал (1;2). И так далее, исходное множество сжать на всю полупрямую. А потом полупрямую на отрезок.

[svv]

Sinoid
Ваша работа по поиску функции $\dfrac{1}{\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor }{2}+1+\left\{ x\right\} }$ не была напрасной. Функция хороша, только Вы её неправильно используете.

0) Запись можно чуть упростить: $\dfrac{1}{x+1-0.5\lfloor x\rfloor}$ .
1) Областью определения следует считать $(0,1)\cup(2,3)\cup\ldots$

Sinoid в сообщении #1507213 писал(а):

$\begin{matrix}\left[0,\,1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{3},\,1\right]\\\left[2,\,3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{2}\right]\end{matrix}$

2) Интервал $(0,1)$ отображается не на $(\frac 23,1)$, а на $(\frac 12,1)$.
Интервал $(2,3)$ отображается не на $(\frac 25,\frac 12)$, а на $(\frac 13,\frac 12)$.
И так далее.

[Sinoid]

novichok2018 в сообщении #1507238 писал(а):

Если попробовать по простому, сначала отобразить [2;3] на интервал (1;2).

Так ведь интервал-образ незамкнут. Поэтому на полупрямой-образе будут точки, не имеющие прообраза.

[svv]

Так Вы же опять исходите из непрерывности отображения. А ведь в теореме 3, или как её там, была продемонстрирована техника.

[Sinoid]

kmpl в сообщении #1507051 писал(а):

Что касается биекции отрезка и интервала, то её лучше построить явно.

mihaild в сообщении #1507232 писал(а):

Sinoid, попробуйте всё-таки выписать биекцию между полуинтервалом и отрезком, это поможет.

В принципе, и писать нечего: в книге дано доказательство этой теоремы методами конструктивной математики:

Мне остается тупо повторить это доказательство в контексте данного множества.

Итак, мне нужно доказать, что между интервалами $M_1=\left[0,\,1\right]$ и $M_2=\left[0,\,1\right)$ можно установить взаимно однозначное соответствие. Беру в $M_1$ счетное множество $P=\left\{ 1,\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{3},\ldots\right\}$ и пусть $Q=M_{1}\backslash P$, тогда, ставя в соответствие каждому элементу множества $Q\subset M_{1}$ тот же самый элемент множества $M_2$, а каждому элементу $\dfrac{1}{i+1}$, $i=0,\,1,\,2,\ldots$ множества $M_1$ элемент $\dfrac{1}{i+2}$ множества $M_1$, я и получаю искомое взаимно однозначное соответствие между интервалами $M_1=\left[0,\,1\right]$ и $M_2=\left[0,\,1\right)$. В свою очередь точно также между интервалами $M_2=\left[0,\,1\right)$ и $M_3=\left(0,\,1\right)$ точно таким же способом можно установить взаимно однозначное соответствие. Но это означает, что и между $M_1$ и $M_3$ тоже можно установить взаимно однозначное соответствие. И этот же прием я могу использовать и для любого другого интервала, входящего в объединение интервалов

Sinoid в сообщении #1506983 писал(а):

$\left[0,\,1\right]\cup\left[2,\,3\right]\cup\left[4,\,5\right]\cup\ldots$

. Итак, исходная задача заменяется следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между множеством $\left(0,\,1\right)\cup\left(2,\,3\right)\cup\left(4,\,5\right)\cup\ldots$ и отрезком $\left[0,\,1\right]$.
Верно?

[Sinoid]

А далее, устанавливая взаимно-однозначное соответствие между интервалам следующим образом: $(2p,\,2p+1)\leftrightarrow((2p)-p,\,(2p+1)-p)$, где $p=0,\,1,\ldots$, мы последнюю переформулировку исходной задачи вполне можем заменить следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между множеством $\left(0,\,1\right)\cup\left(1,\,2\right)\cup\left(2,\,3\right)\cup\ldots$ и отрезком $\left[0,\,1\right]$..
Далее, между множеством $\left(0,\,1\right)\cup\left(1,\,2\right)\cup\left(2,\,3\right)\cup\ldots$ и множеством $\ensuremath{\left(0,\,1\right)\cup\left\{ 1\right\} \cup\left(1,\,2\right)\cup\left\{ 2\right\} \cup\left(2,\,3\right)\cup\ldots}$ я, по той же теореме могу установить взаимно-однозначное соответствие, а это означает, что решение исходной задачи мы вообще можем заменить решением следующей:
Укажите взаимно-однозначное соответствие между интервалом $(0,\,+\infty)$ и отрезком $\left[0,\,1\right]$..
Скажите, пожалуйста, я правильно мыслю?

[svv]

Вам надо
1) Указать биекцию между
$X=(0,1)\cup(2,3)\cup(4,5)\cup...$
и
$Y=(1,\frac12)\cup(\frac 12,\frac 13)\cup(\frac 13,\frac 14)\cup...$
В $Y$ у меня неверный порядок концов интервалов в каждой скобке, но Вы понимаете, зачем я так написал.
Это делает Ваша функция $\frac{1}{0.5\lfloor x\rfloor+1+\left\{ x\right\} }$ , ну и обратная к ней.

2) Указать биекцию между "оставшимися" счётными множествами $\mathbb N_0$ и $[0,1]\setminus Y$. Тут будет какое-то другое правило.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1507378 писал(а):

Скажите, пожалуйста, я правильно мыслю?

Правильно, только слишком сложно и долго. И, по-моему, тут устанавливать соответствие какой-то единой формулой --- совершенно лишнее украшательство (не в обиду коллеге будь сказано). Достаточно как-то его описать более-менее явно. Скажем, разбиваем одно множество на счетное число интервалов $(0,1)$, $(2,3),\ldots$, и еще счетное множество $\{0,1,2,3,\ldots\}$. А второе --- опять-таки на счетное число интервалов $(1/2,1)$, $(1/3,1/2)$, $\ldots$, и счетное множество $\{0; 1/2,1/3,\ldots\}$. И потом интервал на интервал (аффинным отображением, скажем), а счетные остатки один на другой, и всё.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Уважаемые модераторы! Дабы не захламлять форум, не могли бы вы эту тему соединить с вот этой?

-- 02.03.2021, 21:08 --

vpb в сообщении #1507389 писал(а):

И, по-моему, тут устанавливать соответствие какой-то единой формулой --- совершенно лишнее украшательство (не в обиду коллеге будь сказано). Достаточно как-то его описать более-менее явно.

Да, я тоже так думаю, но все равно попробую понять, что мне хочет сказать и уважаемый svv, хотя по большому счету, получается, что задача уже решена.

[Sinoid]

svv в сообщении #1507263 писал(а):

Sinoid в сообщении #1507213

писал(а):
$\begin{matrix}\left[0,\,1\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{3},\,1\right]\\\left[2,\,3\right]\leftrightarrow\left[\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{2}\right]\end{matrix}$ 2) Интервал $(0,1)$ отображается не на $(\frac 23,1)$, а на $(\frac 12,1)$.
Интервал $(2,3)$ отображается не на $(\frac 25,\frac 12)$, а на $(\frac 13,\frac 12)$.
И так далее.

Неужели такое сильное изменение влечет за собой не замена вот этой функции:

svv в сообщении #1507263 писал(а):

$\dfrac{1}{\dfrac{\left\lfloor x\right\rfloor }{2}+1+\left\{ x\right\} }$

на вот эту:

svv в сообщении #1507263 писал(а):

$\dfrac{1}{x+1-0.5\lfloor x\rfloor}$

, а всего лишь исключение из замкнутых с обеих сторон интервалов их концов?

-- 02.03.2021, 23:04 --

svv в сообщении #1507385 писал(а):

2) Указать биекцию между "оставшимися" счётными множествами $\mathbb N_0$ и $[0,1]\setminus Y$. Тут будет какое-то другое правило.

По сути вы предыдущим пунктом все решили. Мне же осталось построить биекцию между $\left\{ 0,\,1,\,2,\,3,\,4,\ldots\right\}$ и $\left\{ 0,\,\dfrac{1}{1},\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{4},\ldots\right\}$. Ясно. Кажись, разобрался. Спасибо всем большое за помощь!

[svv]

Sinoid в сообщении #1507509 писал(а):

а всего лишь исключение из замкнутых с обеих сторон интервалов их концов?

Да, именно. (Насчёт преобразования Вашей формулы к другому виду не беспокойтесь — оно тождественное.)

При $x\geqslant 0$ функция непрерывна на интервалах $(n,n+1)$, а в точках $x=n$ имеет скачок (где $n\in\mathbb N_0$). В точках разрыва значение функции совпадает с правосторонним пределом $\frac 2{2+n}$, но не совпадает с левосторонним $\frac 2{3+n}$.

vpb в сообщении #1507389 писал(а):

И потом интервал на интервал (аффинным отображением, скажем)

Так отображение интервалов 1) уже найдено и 2) единой формулой задаёт отображение для всех интервалов. Зачем такое выбрасывать?
А "аффинное отображение" — это два слова лишь на уровне идеи. Строгий преподаватель (либо компилятор программы) всё равно потребует построить все эти отображения в явном виде.

[vpb]

svv в сообщении #1507533 писал(а):

Строгий преподаватель (либо компилятор программы) всё равно потребует построить все эти отображения в явном виде.

Это, наверное, какой-то чересчур строгий преподаватель. У меня бы такое в чужом тексте или речи никаких вопросов не вызвало. А я, надо сказать, весьма въедлив.