sqrt(-25) сущeствуeт или нeт?

[kot-obormot]

Добрый вечер! Не могу понять одного момента.

$\sqrt{-25}=\pm 5i$, вроде все логично, но если записать

$$-25=25i^2=5i\cdot 5i = \sqrt{-25}\cdot\sqrt{-25}=\sqrt{(-25)\cdot (-25)}=\sqrt{625}=25$$

возникает некая ошибка, но почему и где?

[Mihr]

Есть понятие арифметического корня, есть - алгебраического. У Вас они спутаны.
Кстати, знак радикала должен использоваться лишь для обозначения арифметического корня. Поэтому, строго говоря, запись $\sqrt{-25}=\pm 5i$ бессмысленна (хотя иногда и употребляется, как "вольность речи").

-- 27.02.2021, 23:03 --

Здесь ситуация примерно такая же, как если бы я вдруг захотел обозначать корень уравнения при помощи знака радикала. И получил бы такой "результат":

$1=\sqrt{x^2-3x+2=0}=2$

Забавно?

[kot-obormot]

Mihr в сообщении #1506900 писал(а):

знак радикала должен использоваться лишь для обозначения арифметического корня

Точно ли так?)

[Mihr]

kot-obormot в сообщении #1506905 писал(а):

Точно ли так?)

Насколько я знаю, так. Но дело, разумеется, не в самих обозначениях. А в том, что Вы при помощи Ваших манипуляций отождествляете разные алгебраические корни одного и того же числа. Ошибка отсюда.

[mihaild]

Mihr в сообщении #1506900 писал(а):

Кстати, знак радикала должен использоваться лишь для обозначения арифметического корня

Шабат, например, с вами не согласен.

kot-obormot в сообщении #1506898 писал(а):

возникает некая ошибка, но почему и где?

Ошибка в том, что значком $\sqrt{\cdot}$ обозначается две разных функции (это давняя традиция запутывания; значком $\sqrt[3]{\cdot}$ вообще обозначают три разных функции).
Есть арифметический квадратный корень, для него неверно равенство $5i = \sqrt{-25}$ - он просто не определен на $-25$.
Есть комплексный квадратный корень, для него тоже неверно равенство $5i = \sqrt{-25}$, а еще неверно $\sqrt{625} = 25$.

[Mihr]

mihaild в сообщении #1506907 писал(а):

Шабат, например, с вами не согласен.

Ну и пусть. Я и сам могу указать пособие (другое, не Шабат), где знак радикала используется для обозначения алгебраических корней. Но, по моему впечатлению, в большинстве пособий таких обозначений всё-таки избегают. Или, по крайней мере, подобные обозначения считаются, как минимум, неаккуратными.

[kot-obormot]

mihaild в сообщении #1506907 писал(а):

Есть комплексный квадратный корень, для него тоже неверно равенство $5i = \sqrt{-25}$, а еще неверно $\sqrt{625} = 25$.

Спасибо, а такое верно? $\pm 5i = \sqrt{-25}$

[mihaild]

kot-obormot в сообщении #1506909 писал(а):

Спасибо, а такое верно? $\pm 5i = \sqrt{-25}$

Для комплексного корня - да.

[Mihr]

Кстати, для формулирования "парадокса" прибегать к комплексным числам излишне. Его ("парадокс") вполне можно было бы сократить до такой цепочки равенств:

$$-25= \sqrt{(-25)\cdot (-25)}=\sqrt{625}=25$$

Здесь отчётливо видно, что первый знак радикала подразумевает алгебраический корень, но второй - арифметический. Отсюда и "парадокс".
Вообще, если допускать, что знак радикала может обозначать алгебраический корень, то "парадокс" формулируется ещё короче:

$$-2=\sqrt{4}=2$$

В действительности тогда следовало бы писать

$$\sqrt{4}=\pm 2$$

что означало бы просто $\sqrt{4}= 2$ или $\sqrt{4}= -2$
Переосмысливание "или" как "и" и рождает неразбериху.

Но всё-таки писать $\sqrt{4}=\pm 2$ как-то не принято.

[kotenok gav]

$\sqrt4=\{2, -2\}$ и все довольны

[bot]

А чем это лучше, чем $\sqrt 4=\pm 2\,?$

[kotenok gav]

Ну, скажем, для кубического корня так не запишешь.

[arseniiv]

Mihr в сообщении #1506900 писал(а):

Кстати, знак радикала должен использоваться лишь для обозначения арифметического корня.

Ну почему же, если манипулировать многозначными функциями и делать это по правилам, то можно вполне считать $\sqrt{-5}$ хорошей записью (и $-\sqrt{-5}$ записью уже другой вещи, когда они делят контекст с $\sqrt{-5}$: так, чтобы $\sqrt{-5} \cdot (-\sqrt{-5}) \equiv 5$; я пока не помню, как это возможно сделать аккуратным и ясным образом, но вроде было можно).

-- Вс фев 28, 2021 17:03:05 --

(Просто писать штуки вроде $(-5)^{1/2}$ мне лично бы не хотелось: это вообще выглядит как однозначная функция, не определённая на отрицательных вещественных числах и дающая корень, наиболее близкий по евклидову расстоянию к 1. У $\sqrt[n] x$, пока мы позволяем только целые $n$, есть такая «выделенность», которую как-то мне лично неудобно навязывать для обозначения $x^{1/n}$ для тех же целых $n$ — $1/n$ портит простоту выделения особых случаев, да и мы не можем оставить неопределёнными другие показатели, а для записи с радикалом ещё как можем — очень редко видишь, чтобы кто-то писал вещи вроде $\sqrt[8{,}71] x$.)