2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замкнутая форма для собственного вектора треугольной матрицы
Сообщение26.02.2021, 20:05 


23/12/07
1757
Натолкнулся на необходимость решения разностного уравнения. Удалось представить его в матричном виде $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{x}}$ с треугольной матрицей
$A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0& 0 &\dots\\
a_{21} & 0 & 0& 0& 0& \dots\\
a_{31} & a_{32} & 0&0& 0&\dots\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0& 0&\dots\\
\dots & \dots &\dots & \dots & \dots & \dots
\end{pmatrix}$
Можно ли решение представить в замкнутой форме ("одной формулой")? (Мне оно требуется для проведения анализа аналитической модели, потому рекуррентные соотношения не подходят)
Заранее благодарен за советы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая форма для собственного вектора треугольной матрицы
Сообщение27.02.2021, 04:27 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В матрице $A$ исправим элемент $a_{11}$ c $1$ на $0$.
Пусть $\mathbf b$ — вектор, у которого элемент $b_1=1$, а остальные нулевые.
Тогда $\mathbf x = (E-A)^{-1}\mathbf b$
Жульничество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая форма для собственного вектора треугольной матрицы
Сообщение01.03.2021, 18:31 


23/12/07
1757
svv
Вы имеете в виду, представим $\mathbf{A} = \mathbf{L} + \mathbf{M}$, где $\mathbf{M} = [\delta_{i,1}\delta_{1,j}]$. Тогда $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{x}$ равносильно $\mathbf{L}\mathbf{x} + [x_1,0,\dots]^T = \mathbf{x}$, или $\mathbf{x} = (\mathbf{E}- \mathbf{L}) ^{-1}[x_1,0,\dots]^T  $. И тогда, поскольку $\mathbf{L}^n = \mathbf{0}$, то $(\mathbf{E}- \mathbf{L}) ^{-1} =  \mathbf{E} + \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{L}^k $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая форма для собственного вектора треугольной матрицы
Сообщение01.03.2021, 18:47 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Да, можно и так это представить.
В моём варианте получался всегда собственный вектор с $x_1=1$ (причём я считал это достоинством — получается нечто определённое), но Ваш вариант даже симпатичнее.

-- Пн мар 01, 2021 17:48:21 --

_hum_ в сообщении #1507179 писал(а):
И тогда, поскольку $\mathbf{L}^n = \mathbf{0}$, то $(\mathbf{E}- \mathbf{L}) ^{-1} =  \mathbf{E} + \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{L}^k $?
Да, тоже обратил на это внимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая форма для собственного вектора треугольной матрицы
Сообщение01.03.2021, 18:53 


23/12/07
1757
svv
Спасибо. Такой вариант, конечно, уже лучше для анализа. Еще бы от степеней матрицы как-то избавиться...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group