Замкнутая форма для собственного вектора треугольной матрицы

[_hum_]

Натолкнулся на необходимость решения разностного уравнения. Удалось представить его в матричном виде $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{x}}$ с треугольной матрицей
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0& 0 &\dots\\ a_{21} & 0 & 0& 0& 0& \dots\\ a_{31} & a_{32} & 0&0& 0&\dots\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0& 0&\dots\\ \dots & \dots &\dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$
Можно ли решение представить в замкнутой форме ("одной формулой")? (Мне оно требуется для проведения анализа аналитической модели, потому рекуррентные соотношения не подходят)
Заранее благодарен за советы.

[svv]

В матрице $A$ исправим элемент $a_{11}$ c $1$ на $0$.
Пусть $\mathbf b$ — вектор, у которого элемент $b_1=1$, а остальные нулевые.
Тогда $\mathbf x = (E-A)^{-1}\mathbf b$
Жульничество?

[_hum_]

svv
Вы имеете в виду, представим $\mathbf{A} = \mathbf{L} + \mathbf{M}$, где $\mathbf{M} = [\delta_{i,1}\delta_{1,j}]$. Тогда $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{x}$ равносильно $\mathbf{L}\mathbf{x} + [x_1,0,\dots]^T = \mathbf{x}$, или $\mathbf{x} = (\mathbf{E}- \mathbf{L}) ^{-1}[x_1,0,\dots]^T $. И тогда, поскольку $\mathbf{L}^n = \mathbf{0}$, то $(\mathbf{E}- \mathbf{L}) ^{-1} = \mathbf{E} + \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{L}^k $?

[svv]

Да, можно и так это представить.
В моём варианте получался всегда собственный вектор с $x_1=1$ (причём я считал это достоинством — получается нечто определённое), но Ваш вариант даже симпатичнее.

-- Пн мар 01, 2021 17:48:21 --

_hum_ в сообщении #1507179 писал(а):

И тогда, поскольку $\mathbf{L}^n = \mathbf{0}$, то $(\mathbf{E}- \mathbf{L}) ^{-1} = \mathbf{E} + \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{L}^k $?

Да, тоже обратил на это внимание.

[_hum_]

svv
Спасибо. Такой вариант, конечно, уже лучше для анализа. Еще бы от степеней матрицы как-то избавиться...