2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колебания не растянутой пружины
Сообщение26.02.2021, 10:04 
Аватара пользователя


12/02/20
260
Грузик массы $m$ закреплен между двумя пружинами жесткости $k$ и не растянутой длины $l_0$.
В начальный момент времени пружины и грузик лежат на гладком столе, пружины закреплены к столу, пружины не растянуты.

Грузик смещают вдоль плоскости стола на малое расстояние $\Delta x$ перпендикулярно начальному положению пружин.

Найти период малых колебаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания не растянутой пружины
Сообщение26.02.2021, 10:35 
Заслуженный участник


28/12/12
6984

(Оффтоп)

$$T=4\sqrt{\frac{2\pi ml_0^2}{k\Delta x^2}}\cdot\frac{\Gamma(5/4)}{\Gamma(3/4)}\approx 5.24\sqrt{\frac{2ml_0^2}{k\Delta x^2}},$$
если Вольфрам нам не врет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания не растянутой пружины
Сообщение26.02.2021, 10:43 
Аватара пользователя


12/02/20
260

(Оффтоп)

DimaM, похоже на то. Задачка изначально предлагалась на одном старом межнаре, там без вольфрама нужно было догадаться что период обратно пропорционален смещению. Решалось методом размерностей

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания не растянутой пружины
Сообщение26.02.2021, 11:17 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
profilescit в сообщении #1506650 писал(а):
Задачка изначально предлагалась на одном старом межнаре, там без вольфрама нужно было догадаться что период обратно пропорционален смещению. Решалось методом размерностей

Вольфрам нужен мне был, чтоб коэффициент посчитать. Размерные величины на бумажке выстраиваются.

Про метод размерностей интересно бы подробностей: можно написать $T\sim\sqrt{m/k}\cdot (l_0/\Delta x)^n$, но я не вижу, как можно определить показатель $n$ из анализа размерностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания не растянутой пружины
Сообщение26.02.2021, 15:44 


21/07/20
157
Если в условии задать не начальное смещение, а начальную скорость, то, если не ошибся:

(Оффтоп)

$\large T\sim(\frac{ml^2_0}{k\upsilon^2_0})^{1/4}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания не растянутой пружины
Сообщение26.02.2021, 16:30 
Заслуженный участник


21/09/15
998
profilescit писал, надо догадаться, что период обратно пропорционален смещению.
Но как об этом догадаться, если совсем без математики? Я не знаю.
А если немного математики можно, то сразу $\sqrt{\frac{ml_0^2}{k\Delta x^2}}$ (без численного коэффициента) получается, скорее из соображений подобия, чем размерности

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания не растянутой пружины
Сообщение26.02.2021, 19:20 
Заслуженный участник


23/07/08
9161
Харьков

(Оффтоп)

Из постоянства энергии получается ДУ вида $\frac{dx}{dt}+f(x)=0$. Решая, найдём
$T=4\sqrt{\dfrac{2ml_0^2}{k\Delta x^2}}\int\limits_0^1\dfrac{du}{\sqrt{1-u^4}}$
Для интеграла Вольфрам даёт значение $\dfrac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac 5 4)}{\Gamma(\frac 3 4)}$ и получается тот же ответ, что у DimaM.

Интеграл также равен $\dfrac{\Gamma(\frac 1 4)^2}{4\sqrt{2\pi}}$, так что
$T=\sqrt{\dfrac{ml_0^2}{\pi k \Delta x^2}}\Gamma(\frac 1 4)^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group