Колебания не растянутой пружины

[profilescit]

Грузик массы $m$ закреплен между двумя пружинами жесткости $k$ и не растянутой длины $l_0$.
В начальный момент времени пружины и грузик лежат на гладком столе, пружины закреплены к столу, пружины не растянуты.

Грузик смещают вдоль плоскости стола на малое расстояние $\Delta x$ перпендикулярно начальному положению пружин.

Найти период малых колебаний.

[DimaM]

(Оффтоп)

$$T=4\sqrt{\frac{2\pi ml_0^2}{k\Delta x^2}}\cdot\frac{\Gamma(5/4)}{\Gamma(3/4)}\approx 5.24\sqrt{\frac{2ml_0^2}{k\Delta x^2}},$$

если Вольфрам нам не врет.

[profilescit]

(Оффтоп)

DimaM, похоже на то. Задачка изначально предлагалась на одном старом межнаре, там без вольфрама нужно было догадаться что период обратно пропорционален смещению. Решалось методом размерностей

[DimaM]

profilescit в сообщении #1506650 писал(а):

Задачка изначально предлагалась на одном старом межнаре, там без вольфрама нужно было догадаться что период обратно пропорционален смещению. Решалось методом размерностей

Вольфрам нужен мне был, чтоб коэффициент посчитать. Размерные величины на бумажке выстраиваются.

Про метод размерностей интересно бы подробностей: можно написать $T\sim\sqrt{m/k}\cdot (l_0/\Delta x)^n$, но я не вижу, как можно определить показатель $n$ из анализа размерностей.

[Ignatovich]

Если в условии задать не начальное смещение, а начальную скорость, то, если не ошибся:

(Оффтоп)

$\large T\sim(\frac{ml^2_0}{k\upsilon^2_0})^{1/4}$

[AnatolyBa]

profilescit писал, надо догадаться, что период обратно пропорционален смещению.
Но как об этом догадаться, если совсем без математики? Я не знаю.
А если немного математики можно, то сразу $\sqrt{\frac{ml_0^2}{k\Delta x^2}}$ (без численного коэффициента) получается, скорее из соображений подобия, чем размерности

[svv]

(Оффтоп)

Из постоянства энергии получается ДУ вида $\frac{dx}{dt}+f(x)=0$. Решая, найдём
$T=4\sqrt{\dfrac{2ml_0^2}{k\Delta x^2}}\int\limits_0^1\dfrac{du}{\sqrt{1-u^4}}$
Для интеграла Вольфрам даёт значение $\dfrac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac 5 4)}{\Gamma(\frac 3 4)}$ и получается тот же ответ, что у DimaM.

Интеграл также равен $\dfrac{\Gamma(\frac 1 4)^2}{4\sqrt{2\pi}}$, так что
$T=\sqrt{\dfrac{ml_0^2}{\pi k \Delta x^2}}\Gamma(\frac 1 4)^2$