Фокусы парабол

[profilescit]

Раз уж тут всем понравились задачки на полет в равномерном гравитационном поле, вот еще одна.

Наклонная плоскость с углом $\theta$ к горизонту. Маленький мячик бросают без начальной скорости на плоскость, начальное расстояние (перпендикуляр к наклонной плоскости) равно $d$. Все удары абсолютно упругие. Понятно что мячик будет описывать множество парабол. Определить, на какой хорошо известной кривой будут лежать фокусы этих парабол.

[drug39]

на прямой

[profilescit]

drug39, верно. Теперь вопрос какой наклон у этой прямой, а так-же в какой точке она пересечется с наклонной поверхностью.

[wrest]

Хм... и у всех эти парабол будет общая директриса, проходящая через точку старта перпендикулярно полю (независимо даже от того прямая там наклонная плоскость, ломаная или вообще любая кривая, лишь бы в момент удара она не двигалась и не было никакого трения)?

[profilescit]

wrest да, это тоже верно

[wrest]

Строим-построим

Способ 1 (сложный, но понятный).



1. Точка A -- точка старта.
2. Фиолетовая линия -- наклонная плоскость.
3. Опускаем вертикаль из A на наклонную плоскость (черный штрих-пунктир), точка О - точка первого удара.
4. Строим перпендикуляр к наклонной плоскости -- розовая линия из точек.
5. Откладываем угол отражения в точке О, равный углу падения, красная линия -- направление первого отскока (и касательная к первой параболе).
6. Восставляем перпендикуляр к красной линии из точка A (оражевая прямая). Это прямая, на которой лежат фокусы всех остальных парабол.
7. Строим окружность с центром в точе О и радиусом ОA (черная окружность)
8. Пересечение окружности и оранжевой прямой, точка F -- искомый фокус первой параболы.

Голубая прямая проходящая через точку А горизонтально дана для справки: это общая директриса.

Зеленым для справки дана первая парабола.


Способ 2 (простой, но непонятный).



Дано: Точка старта А, наклонная полскость (фиолетовая), направление силы тяжести.
1. Из точки А опускаем перпендикуляр на наклонную плоскость (красная прямая).
2. В точке А откладываем угол, раный углу между горизонталью и красной линией, одна из сторон угла - красная прямая. Результат - оранжевая прямая.
3. Через точку А проводим вертикаль (черный штрих-пунктир).
4. Пересечение штрих-пунктира и фиолетовой прямой (наклонная плоскость) отмечаем как точка О.
5. Строим окружность с центром в точке О и радиусом ОА
6. Пересечение окружности и оранжевой прямой- искомый фокус F первой параболы.

Из простого способа проще посчитать где линия фокусов пересечется с наклонной плоскостью.

Бонус: Первый фокус лежит на наклонной плоскости при её угле наклона 30 градусов. (где ноль градусов - нет наклона, плоскость горизонтальна).

[drug39]

wrest, фокус параболы лежит на окружности. Это мы откудова должны знать?

[wrest]

drug39 в сообщении #1506546 писал(а):

фокус параболы лежит на окружности. Это мы откудова должны знать?

Из свойства директрисы. Точка О лежит на параболе по построению (это точка первого отскока). Расстояние от точки параболы до директрисы равное ОА также равно расстоянию от этой точки О до фокуса параболы, то есть ОF.

Черная окружность это ГМТ фокусов парабол с данной директрисой и проходящих через О.

[drug39]

Спрошу иначе. Почему точка старта лежит именно на этой окружности?

[wrest]

drug39 в сообщении #1506550 писал(а):

Спрошу иначе. Почему точка старта лежит именно на этой окружности?

Потому, что через эту точку А проходит директриса (ещё точка А совпадает с фокусом и вершиной первой параболы, в случае если наклонная плоскость не наклонная, а горизонтальная, и если можно говорить о фокусе такой вырожденной параболы).

-- 25.02.2021, 14:23 --

profilescit в сообщении #1506366 писал(а):

Теперь вопрос какой наклон у этой прямой,

Ага, ну теперь ясно, что наклон линии фокусов равен удвоенному углу наклона плоскости, то есть $2\theta$.

Бонус: Линия вершин парабол проходит параллельно наклонной плоскости (т.е. наклонена к горизонту на угол $\theta$)

[drug39]

wrest в сообщении #1506551 писал(а):

drug39 в сообщении #1506550 писал(а):

Спрошу иначе. Почему точка старта лежит именно на этой окружности?

Потому, что через эту точку А проходит директриса...

wrest, точка старта -- это всего лишь точка старта. На каком этапе к ней прикрепилась директриса?

[wrest]

wrest в сообщении #1506551 писал(а):

Бонус: Линия вершин парабол проходит параллельно наклонной плоскости (т.е. наклонена к горизонту на угол $\theta$)

Исправляю. Не линия вершин, а общая касательная из точки старта.

-- 25.02.2021, 15:07 --

drug39 в сообщении #1506559 писал(а):

точка старта -- это всего лишь точка старта. На каком этапе к ней прикрепилась директриса?

Сразу и прикрепилась, т.к. в точке старта скорость нулевая (модуль скорости равен нулю), кинетическая энергия равна нулю, вся энергия (мячика-шмачика) -- потенциальная.
Поскольку уравнения движения обратимы во времени, посмотрите с другой стороны.
Пусть у нас есть какая-то точка траектории свободного падения в однородном поле (= параболы).
Директриса этой параболы лежит на высоте $h=\dfrac{v^2}{2g}$ над точкой, в которой модуль скорости равен $v$. В частности, для точки $O$ получается что $h_O=OA=\dfrac{v_O^2}{2g}$ где $v_O$ -- модуль скорости нашего мячика в точке $O$
Ну а для точки $A$, $h_A=0$ из-за $v_A=0$, т.е. директриса через точку $A$ проходит.
Директриса общая для всех наших парабол, т.к. энергия не рассеивается и не добавляется кроме как полем, а наше поле потенциально. А значит, модуль скорости, при начальной нулевой скорости, равен $v=\sqrt{2gh}$ где $h$ -- текущая высота (глубина) мячика под точкой старта. Величина модуля скорости не зависит от формы наклонной плоскости, а зависит только от высоты, тут всё просто: изменение потенциальной энергии шарика по сравнению с точкой старта, равно кинетической энергии шарика, поскольку в начальный момент кинетическая энергия была нулевая. Тут надо со знаками аккуратно обойтись, приняв что при потере высоты потенциальная энергия падает, т.е. её изменение отрицательно. Приняв полную энергию (потенциальную плюс кинетическую) за ноль, для удобства, мы получим, что она равна нулю везде до скончания века, независимо от текущего положения шарика-шмарика и его предыдушей истории взлётов и падений, начинающейся с нулевой скорости в точке $A$.

P.S. На всякий случай дисклаймер ешё раз: предполагаем, что никакого трения или другого рассеяния энергии нигде нет, у шарика нулевой момент инерции, шарик нулевого размера, угол падения равен углу отскока, скорость непосредственно до удара равна скорости сразу после.

[wrest]

Ещё одна картинка

Точка А - точка старта.
Точка О - точка первого удара.
Черный штрихпунктир - вертикаль.
Штриховые зеленые линии -- параболы.
Красные точки -- фокусы парабол, красная прямая -- линия фокусов.
Зеленые точки -- вершины парабол, зеленая сплошная линия -- линия вершин.
Розовая прямая -- общая касательная ко всем параболам.
Розовые точки -- точки касания общей касетльной (общих касательных две, вторая не показана).
Фиолетовые точки -- точки отскоков.
Фиолетовая линия -- наклонная плоскость.
Треугольники фокус-вершина-точка касания (красная-зеленая-розовая) пободны, а их пободные стороны -- параллельны. Сторона содержащая фокус и вершину -- вертикальна (ессно). Общий центр подобия треугольников -- точка A.

[drug39]

Кто-нибудь из этого понял, что точка старта должна оказаться на директрисе? Такое впечатление, что пропущено какое-то промежуточное умозаключение.

[wrest]

drug39
У всех траекторий одной энергии общая директриса, следите за руками :)

"Энергия траектории" это сумма потенциальной и кинетической энергий мячика-шмячика, который по этой траектории летит без трения и прочих потерь, и это есть константа в виду потенциальности поля.

Во "все" траектории входит так же и вертикальная траектория, вырожденная парабола. У такой вырожденной параболы совпадают вершина и фокус. Там разрыв, конечно, но левый и правый пределы положения фокуса параболы, при стремления угла подброса материальной точки-шмочки к вертикали совпадают, если побрасывать вверх (если вниз - тоже, но диаметрально противоположно соответственно внизу на окружности фокусов). Вершина параболы, как изветно, находится ровно между фокусом и директрисой, и таким образом директриса необходимо проходит чотко через точку старта, при условии старта с нулевой начальной скоростью (пережигании нитки над, или выбивания эшафота под грузом-шмузом).
Точка старта является точкой наибольшего подъема, если запустить камень-шмамень наоборот снизу вверх чтобы он остановился в точке старта. Это будет явлено, если мячик-шмачик отскочит от чисто горизонтального низа ровно вертикально: он вернется в точку старта и поцелует там общую директрису всех своих траекторий данной энергии.

Не знаю как ещё объяснить кроме как записать уравнения, но это уж вы сами.