проверьте пожалуйста

[ShMaxG]

Дано уравнение:

\[ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial y^2 }} = 0 \]

После преобразования к полярным координатам:

\[ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial r^2 }} + \frac{2} {r}\frac{{\partial u}} {{\partial r}} + \frac{1} {{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial \varphi ^2 }} = 0 \]

Верно?

Добавлено спустя 16 минут 12 секунд:

И еще:

\[ \begin{gathered} 2\left( {x + y} \right)\frac{{\partial ^2 z}} {{\partial y^2 }} + \frac{{\partial z}} {{\partial x}} = 0 \hfill \\ u = x \hfill \\ v = \sqrt {x + y} \hfill \\ \frac{{\partial ^2 z}} {{\partial y^2 }} = \frac{1} {{4v^2 }}\frac{{\partial ^2 z}} {{\partial v^2 }} \hfill \\ \frac{{\partial z}} {{\partial x}} = \frac{{\partial z}} {{\partial u}} + \frac{1} {{2v}}\frac{{\partial z}} {{\partial v}} \hfill \\ \end{gathered} \]

[Brukvalub]

Похоже, маленький косячок имеется, см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0

[ShMaxG]

как-то странно, из

\[ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} \]

и из

\[ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial y^2 }} \]

вылезает по

\[ \frac{1} {r}\frac{{\partial u}} {{\partial r}} \]

Добавлено спустя 1 час 2 минуты 23 секунды:

Много раз пытался найти ошибку, но получается следующее:

\[ \begin{gathered} \frac{{\partial u}} {{\partial x}} = \frac{{\partial u}} {{\partial r}}\frac{x} {r} - \frac{y} {{r^2 }}\frac{{\partial u}} {{\partial \varphi }} \hfill \\ \frac{{\partial u}} {{\partial y}} = \frac{{\partial u}} {{\partial r}}\frac{y} {r} + \frac{x} {{r^2 }}\frac{{\partial u}} {{\partial \varphi }} \hfill \\ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial x^2 }} = \frac{1} {r}\frac{{\partial u}} {{\partial r}} + \frac{x} {r}\left( {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial r^2 }}\frac{x} {r} - \frac{y} {{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial \varphi \partial r}}} \right) - \frac{y} {{r^2 }}\left( {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial r\partial \varphi }}\frac{x} {r} - \frac{y} {{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial \varphi ^2 }}} \right) \hfill \\ \frac{{\partial ^2 u}} {{\partial y^2 }} = \frac{1} {r}\frac{{\partial u}} {{\partial r}} + \frac{y} {r}\left( {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial r^2 }}\frac{y} {r} + \frac{x} {{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial \varphi \partial r}}} \right) + \frac{x} {{r^2 }}\left( {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial r\partial \varphi }}\frac{y} {r} + \frac{x} {{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial \varphi ^2 }}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

[ИСН]

При дифференцировании ${\partial u\over\partial x}{x\over r}$ по х забываете кое-что.
(Ну и по y таким же образом.)

[ShMaxG]

То, что r зависит от х ?

[Brukvalub]

\[ r = \sqrt {x^2 + y^2 } \]

[ShMaxG]

Все ясно, спасибо