2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 проверьте пожалуйста
Сообщение14.10.2008, 15:34 
Аватара пользователя
Дано уравнение:

\[
\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial y^2 }} = 0
\]

После преобразования к полярным координатам:

\[
\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial r^2 }} + \frac{2}
{r}\frac{{\partial u}}
{{\partial r}} + \frac{1}
{{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial \varphi ^2 }} = 0
\]

Верно?

Добавлено спустя 16 минут 12 секунд:

И еще:

\[
\begin{gathered}
  2\left( {x + y} \right)\frac{{\partial ^2 z}}
{{\partial y^2 }} + \frac{{\partial z}}
{{\partial x}} = 0 \hfill \\
  u = x \hfill \\
  v = \sqrt {x + y}  \hfill \\
  \frac{{\partial ^2 z}}
{{\partial y^2 }} = \frac{1}
{{4v^2 }}\frac{{\partial ^2 z}}
{{\partial v^2 }} \hfill \\
  \frac{{\partial z}}
{{\partial x}} = \frac{{\partial z}}
{{\partial u}} + \frac{1}
{{2v}}\frac{{\partial z}}
{{\partial v}} \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 15:35 
Аватара пользователя
Похоже, маленький косячок имеется, см. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 16:45 
Аватара пользователя
как-то странно, из \[
\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial x^2 }}
\] и из \[
\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial y^2 }}
\] вылезает по \[
\frac{1}
{r}\frac{{\partial u}}
{{\partial r}}
\]

:?

Добавлено спустя 1 час 2 минуты 23 секунды:

Много раз пытался найти ошибку, но получается следующее:

\[
\begin{gathered}
  \frac{{\partial u}}
{{\partial x}} = \frac{{\partial u}}
{{\partial r}}\frac{x}
{r} - \frac{y}
{{r^2 }}\frac{{\partial u}}
{{\partial \varphi }} \hfill \\
  \frac{{\partial u}}
{{\partial y}} = \frac{{\partial u}}
{{\partial r}}\frac{y}
{r} + \frac{x}
{{r^2 }}\frac{{\partial u}}
{{\partial \varphi }} \hfill \\
  \frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial x^2 }} = \frac{1}
{r}\frac{{\partial u}}
{{\partial r}} + \frac{x}
{r}\left( {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial r^2 }}\frac{x}
{r} - \frac{y}
{{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial \varphi \partial r}}} \right) - \frac{y}
{{r^2 }}\left( {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial r\partial \varphi }}\frac{x}
{r} - \frac{y}
{{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial \varphi ^2 }}} \right) \hfill \\
  \frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial y^2 }} = \frac{1}
{r}\frac{{\partial u}}
{{\partial r}} + \frac{y}
{r}\left( {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial r^2 }}\frac{y}
{r} + \frac{x}
{{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial \varphi \partial r}}} \right) + \frac{x}
{{r^2 }}\left( {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial r\partial \varphi }}\frac{y}
{r} + \frac{x}
{{r^2 }}\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial \varphi ^2 }}} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 17:51 
Аватара пользователя
При дифференцировании ${\partial u\over\partial x}{x\over r}$ по х забываете кое-что.
(Ну и по y таким же образом.)

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 19:27 
Аватара пользователя
То, что r зависит от х ?

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 19:53 
Аватара пользователя
\[
r = \sqrt {x^2  + y^2 } 
\]

 
 
 
 
Сообщение14.10.2008, 20:00 
Аватара пользователя
Все ясно, спасибо :)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group