Отношение площадей треугольника

[Mihr]

Ага. Теперь внесите множитель $2R$ в скобки и вспомните, чему равно произведение $2R\sin A$ и аналогичные произведения с синусами других углов. (Если сразу не вспомните, повторите для себя теорему синусов).

-- 23.02.2021, 21:21 --

Вижу, Вы уже добрались до ответа.

-- 23.02.2021, 21:23 --

Только знаменатель записан с ошибкой. Там произведение, а не сумма.

[profilescit]

Теперь очень интересно посмотреть, остается ли это отношение инвариантным если тоже самое проделать с полученным треугольников $\Delta DEF$. Сейчас пробую заменить каждый $a \to a'$, но пока не красиво выходит

[Mihr]

profilescit, в смысле? Вы аналогичным образом вписываете в треугольник $DEF$ новый треугольник, строите второе отношение и проверяете, равно ли оно первому? Думаю, ожидать этого не приходится. Потому что, очевидно, рассматриваемое отношение определяется формой исходного треугольника. А у треугольников $ABC$ и $DEF$ формы в общем случае разные.

[profilescit]

Mihr Да, вы правы. Пытаюсь найти хотяб кто-то с чем можно работать, может рекурсия красивая. А то у меня в задачке такую операцию проделывают пару тысяч раз...

[arseniiv]

Мне тоже что-то не верится. Если останется, будет воистину магия. Вообще исследовать как форма треугольника меняется при переходе к «вписано-окружному», так же как и к другим, может быть интересно. (Описывать форму углами, возможно лишь двумя, хотя может быть иногда удобно брать все три и допускать прибавление кратных $2\pi$ к ним, так же как и считать $(\alpha, \beta, \gamma) \sim (\pi - \alpha, \pi - \beta, \pi - \gamma)$. На этой плоскости можно будет ввести более-менее естественные метрики, в любом случае топология там естественная будет по идее одна и та же.) Например переход к «медианному» треугольнику формы не меняет вообще, переход к какому-то другому виду вроде стремился привести треугольник к равностороннему… И если это преобразование тащит форму к какому-то одному и тому же для всех пределу, то магии не случится точно, потому что оно не сможет переводить каждую кривую, соответствующую одному из отношений площадей, в себя.

-- Вт фев 23, 2021 23:42:10 --

profilescit в сообщении #1506254 писал(а):

А то у меня в задачке такую операцию проделывают пару тысяч раз...

В терминах углов и их тригонометрических функций операция красивее не запишется?

[profilescit]

arseniiv если взять уже для следующего треугольника эту операцию $(\Delta DEF)$ то получится $\frac{(\cos{A/2} + \cos{B/2} - \cos{C/2})(\cos{A/2} + \cos{C/2} - \cos{B/2})(\cos{B/2} + \cos{C/2} - \cos{A/2})}{\cos{A/2} \cos{B/2} \cos{C/2}}$

[arseniiv]

Это отношение площадей, а сами углы?

[DeBill]

Чёто я не врубаюсь.. А почему не сделать по-тупому?
Точки касания делят стороны на отрезки с длинами $c_1=\frac{a+b-c}{2},b_1=\frac{a+c-b}{2},a_1=\frac{b+c-a}{2}$. Поэтому отношения площадей "угловых" тр-ков ко всей площади будут равны $\frac{a_1^2}{bc}$, и т.д. Площадь оставшегося "центрального" найдем вычитанием...
Так что окончательный ответ: искомое отношение равно

$1-\frac{a_1^2}{bc}-\frac{b_1^2}{ac}-\frac{c_1^2}{ab}$.

Может, и упростится, но не факт..

[profilescit]

Что-то я загнул видимо в поисках красоты... Задачу можно и, наверное нужно, решать численно на каком-нибудь питоне.

[Sender]

Между тем углы треугольника $DEF$ легко выражаются через углы исходного треугольника, попробуйте посмотреть в этом направлении.

[profilescit]

А численные вычисления показывают что это соотношение очень быстро стремится к $0.25$, соответственно треугольники все больше и больше становятся похожими на равнобедренный.

[Mihr]

profilescit в сообщении #1506329 писал(а):

треугольники все больше и больше становятся похожими на равнобедренный

Вы имели в виду равносторонний?

[profilescit]

Mihr, да
Что-то с утра путаюсь в словах

[Sender]

Mihr в сообщении #1506334 писал(а):

Вы имели в виду равносторонний?

Тот же результат легко получить с помощью банального возведения матрицы в степень, без всяких питонов.