2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение в простых числах из Japan TST 2016
Сообщение14.02.2021, 19:16 


24/12/13
305
Найдите все простые $p<q<r<s$ для которых $$p^s-r^q=3.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в простых числах из Japan TST 2016
Сообщение14.02.2021, 23:04 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
По-видимому, ничего кроме $2^7 - 5^3=3$ нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в простых числах из Japan TST 2016
Сообщение22.02.2021, 21:41 


12/08/20
8
Это не из Japan TST 2016.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в простых числах из Japan TST 2016
Сообщение23.02.2021, 01:29 
Заслуженный участник


20/08/14
7815
Россия, Москва
До $s<10^6$ других решений не нашёл.
Причём требования простоты и неравенств излишни, достаточно потребовать чтобы все числа были не менее 2, можно даже одинаковые, всё равно других решений нет (до $10^3$).

С другими разностями есть такие решения:
$3^3-5^2=2$
$2^3-2^2=4$
$3^2-2^2=5$
$2^5-3^3=5$
$2^4-3^2=7$
$2^5-5^2=7$
$2^7-11^2=7$
$2^{15}-181^2=7$
$312^2-46^3=8$
$6^2-3^3=9$
$5^2-2^4=9$
$15^2-6^3=9$
$253^2-40^3=9$
$3^3-2^4=11$
$6^2-5^2=11$
$56^2-5^5=11$
$15^3-58^2=11$
$2^4-2^2=12$
$7^2-6^2=13$
$17^3-70^2=13$
$2^6-7^2=15$
$5^2-3^2=16$
$2^5-2^4=16$
$3^4-2^6=17$
$23^2-2^9=17$
$282^2-43^3=17$
$375^2-52^3=17$
$3^3-3^2=18$
$3^5-15^2=18$
$12^2-5^3=19$
$10^2-3^4=19$
$7^3-18^2=19$
$6^2-2^4=20$
$6^3-14^2=20$
Только с разными простыми слева:
$5^3-11^2=4$
$47^2-13^3=12$
$19^2-7^3=18$
$83^2-19^3=30$
$37^2-11^3=38$
$13^2-5^3=44$
$7^3-17^2=54$
$3^5-13^2=74$
$5^3-7^2=76$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в простых числах из Japan TST 2016
Сообщение02.03.2021, 17:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8511
renatxat в сообщении #1506078 писал(а):
Это не из Japan TST 2016.
а откуда это?

(жалкие попытки, основанные на модулярном подходе)

Ясно, что $p=2$, а $q,r,s\equiv 1\pmod 2$, а из $q<r<s$ следует $r\geqslant 5$. Простым перебором значений $s$ получаем $s\geqslant 5$.
Если $r=5$, то получаем задачу, решенную в topic61711.html .
Пусть $r>5$.
Берем уравнение по $\mod 8$: $r^q\equiv -3 \Leftrightarrow r\equiv 5\pmod 8 \Rightarrow \frac{r-1}{4}$ - нечетно.
$s:=2s_1+1$.
По $\mod 3$: $2\cdot 4^{s_1}-r^q\equiv 3\pmod 3 \Leftrightarrow r^q\equiv -1\pmod 3 \Leftrightarrow r\equiv -1\pmod 3$.
По $\mod 5$: $2\cdot 4^{s_1}-r^q\equiv 3\pmod 5 \Leftrightarrow r^q\equiv -3+2(-1)^{s_1}\equiv -1;0\pmod 5$. Но $r\neq 5$ и $r$ - простое, значит $r\not\equiv0\pmod 5$, значит $s_1\equiv 0\pmod 2$ и $r^q\equiv -1\pmod 5$ $\Rightarrow r\equiv -1\pmod 5$ и $s\equiv 1\pmod 4$
По $\mod (r-1)$: $2\cdot 4^{s_1}\equiv 4 \pmod{r-1} \Leftrightarrow 2\cdot 4^{s_1-1}\equiv 1 \pmod{\frac{r-1}{4}} \Rightarrow$ $\left(\frac{2}{\frac{r-1}{4}}\right)=1 \Leftrightarrow \frac{r-1}{4}\equiv \pm 1\pmod 8 \Leftrightarrow r\equiv 1\pm 4\pmod {32}$. Но $r\equiv 5\pmod 8$, значит $r\equiv 5\pmod {32}$.
По $\mod {32}$: $-5^q\equiv 3\pmod {32}$, откуда $q\equiv 3\pmod{8}$
По $\mod 17$: $s=1+4s_2, q=3+8q_3$: $2\cdot 16^{s_2}-r^3r^8\equiv 3\pmod {17} \Leftrightarrow \pm r^3\equiv -3\pm 2\equiv -1;-5\pmod {17}$ $ \Leftrightarrow r\equiv \pm 1; \pm 11 \pmod{17}$.
Пока что мы получили пачку ограничений на $r$, которым, без учета простоты $r$ удовлетворяет $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{32}\cdot\frac{4}{17} \approx 0.00052$ - довольно мало чисел. (было бы интересно увидеть минимальное простое $r$, которое им удовлетворяет, для опытов)
Дальше мы можем заниматься вот чем: пусть $p$ - простое, не удовлетворяющее ограничениям на $r$. Значит $r\neq p$, а в силу простоты $r\not\equiv 0\pmod p \Leftrightarrow 2^s\not\equiv 3\pmod p$. Например при $p=23$ мы получаем $s\not\equiv 8 \pmod{11}$. Поскольку $s$ стоит в показателе, на нее будут накладываться ограничения по модулям типа $\varphi(p)$, а поскольку сравнение $2^s\not\equiv 3\pmod p$ не очень тривиально, то можно надеятся на подбор конечного множества $p$ таких, что все решения $s\equiv s_p\pmod {\varphi(p)}$ покроют всевозможные значения $s$ (т.е. эффекта чисел Серпинского для генератора $2^s-3$, т.е. в случае, если $2^s-3$ порождает конечное множество простых чисел. Хотя скорее всего я ошибаюсь, но может быть так можно суметь подобрать более сильные ограничения на $s$. )

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в простых числах из Japan TST 2016
Сообщение04.03.2021, 19:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8511

(и еще немного)

Возьмем уравнение по модулю $s$:
$2-r^q\equiv 3\pmod s \Leftrightarrow r^q\equiv -1\pmod s$. Если $q\nmid s-1$, то тогда $r\equiv -1\pmod s \Leftrightarrow s\mid r+1 \Rightarrow s\leqslant r+1$, что противоречит условию $q<r<s$. Значит $q\mid s-1$, т.е. $s=1+qk$. Подставляем:
$2\cdot 2^{kq}-r^q=3$. Можно обозначить $u=2^k$ и решать уравнение $2u^q-r^q=3$. Решения, если бы они были, следовало бы искать из наилучших приближений $\sqrt[q]{2}\approx \frac{r}{u}$. Но у меня на этом пути пока ничего не получилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group