Магнитное поле проводящей полуплоскости

[svv]

В первом сообщении автор предложил для начала решить задачу с одной полуплоскостью. К этой задаче и относятся его результаты. К основной задаче мы пока не возвращались.

Я предложил задавать полуплоскость с током условием $\varphi=(\pm)\pi$. На этой полуплоскости компонента $B_z=\frac{2j}c\varphi+C$ имеет скачок $\frac{4\pi j}c$, как и требуется, так что двойка не потеряна. Никакого скачка на полуплоскости $\varphi=0$ не должно быть.

Положение полуплоскости с током в этой вспомогательной задаче уже выбрано, и изменение константы $C$ соответствует добавлению постоянного однородного магнитного поля без источников, параллельного оси $z$. С учетом симметрии задачи, естественный выбор $C$ — такой, при котором поле антисимметрично, в смысле $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi).$ Это будет при $C=0$. Итак,
$B_z=\frac{2j}c\varphi$
Положение полуплоскости и было выбрано так, чтобы получалась эта простейшая формула.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1505781 писал(а):

К этой задаче и относятся его результаты. К основной задаче мы пока не возвращались.

Приношу извинения, был невнимателен.
Однако, тогда не имеют смысла рассуждения автора про величину поля при $\varphi = \pi$, так как там расположена полуплоскость с током и происходит скачок поля.

[AnatolyBa]

Да, если это вспомогательная задача, то двоечка не потеряна, согласен.
И использовать закон Био-... вместо соображений симметрии для обоснования значения $C$ - хороший вариант. Тоже согласен.

[finn_parnichka2]

Я придумал вот что:
Рассмотрим аналогичную задачу для одной плоскости. Пусть плоскость совпадает с полярной осью. Если рядом с первой плоскостью бесконечно близко разместить еще одну, по которой течет ток $j$ с оси, то тока в пространстве не станет вовсе, значит, и поля не будет. Следовательно, поле по разные стороны первой плоскости должно быть антисимметрично по полярному углу $\varphi$. Тогда получаем для постоянной уравнение

$$\frac{2j}{c}\varphi +C = - \frac{2j}{c}(2\pi - \varphi) - C$$

откуда

$$C=-\frac{2j}{c}\pi$$

тогда

$${B_z}=\frac{2j}{c}(\varphi-\pi).$$

Далее перейдем к задаче с двумя плоскостями. Совместим первую полуплоскость с полярной осью, вторая, таким образов, имеет положение $\varphi = 2\theta$. Решение будет суперпозицией полей каждой плоскости

$$B_z=B_1+B_2=\frac{2j}{c}(\varphi-\pi)+\frac{2j}{c}(\psi-\pi)$$

, где $\psi$ - угол между радиус-вектором в точке и второй плоскостью в направлении по часовой стрелке, т.е. в положительном для $\varphi$.
Для $\varphi $ в интервале $(2\theta; 2\pi)$ имеем $\psi = \varphi - 2\theta$, для $\varphi $ в интервале $(0;2\theta)$ будет $\psi = 2\pi- 2\theta +\varphi $.
Так правильно?

[svv]

Такой способ определения $C$ мне не кажется корректным. По-моему, Вы при выводе неявно пользуетесь либо откуда-то уже известной симметрией поля, либо независимостью $C$ от поля.
Но Вы можете достаточно просто получить свойство $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi)$ (при выборе полуплоскости $\varphi=\pi$) из закона Био-Савара-Лапласа для случая поверхностного тока. Для этого не нужно брать входящий в формулу интеграл.

[EUgeneUS]

svv в сообщении #1505916 писал(а):

Такой способ определения $C$ мне не кажется корректным. По-моему, Вы при выводе неявно пользуетесь либо откуда-то уже известной симметрией поля, либо независимостью $C$ от поля.

ИМХО, способ определения $C$ вполне годный, используется известная (анти)симметрия поля, (вообще говоря, которая следует как раз из закона Бои-Савара-Лапласа).

finn_parnichka2 в сообщении #1505907 писал(а):

Так правильно?

Правильно, но не совсем.

1. $\psi$ же надо подставить и получить окончательные ответы. Получится так:
а) для $\varphi \in (0, 2\theta)$, $B_z = \frac{4j}{c}(\varphi - \theta)$
б) для $\varphi \in (2\theta, 2 \pi)$, $B_z = \frac{4j}{c}(\varphi - \theta - \pi)$

2. Вообще говоря, уже давно понятно, что ответ в обще виде для будет выглядеть так:
$B_z = \frac{2 \sum\limits_{}^{}j}{c} (\varphi + C_k)$, где
$\sum\limits_{}^{}j$ - суммарный ток, приходящий в угол, $C_k$ - некий постоянный коэффициент, зависящий системы координат: от выбора полярной оси и диапазона $\varphi$, и в каждой связанной области свой.
При этом $\sum\limits_{}^{}C_k = -\frac{4\pi \sum\limits_{}^{}j}{c}$

3. В условиях плоскости расположены в углах $\theta$ и в $-\theta$. То есть задана такая система координат: "полярная ось" (полуплоскость $\varphi=0$) располагается на биссектрисе между плоскостями, а полярный угол меняется в пределах $\varphi \in [-\pi, \pi]$
Вот для такой системы координат и надо пересчитать константы.

[svv]

Ну я ж тоже за

svv в сообщении #1505916 писал(а):

Но Вы можете достаточно просто получить свойство $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi)$ (при выборе полуплоскости $\varphi=\pi$) из закона Био-Савара-Лапласа для случая поверхностного тока. Для этого не нужно брать входящий в формулу интеграл.

Только после этого уже не нужны никакие построения вроде такого:

finn_parnichka2 в сообщении #1505907 писал(а):

Рассмотрим аналогичную задачу для одной плоскости. Пусть плоскость совпадает с полярной осью. Если рядом с первой плоскостью бесконечно близко разместить еще одну, по которой течет ток $j$ с оси, то тока в пространстве не станет вовсе, значит, и поля не будет. Следовательно, поле по разные стороны первой плоскости должно быть антисимметрично по полярному углу $\varphi$. Тогда получаем для постоянной уравнение

$$\frac{2j}{c}\varphi +C = - \frac{2j}{c}(2\pi - \varphi) - C$$

Ведь если $B_z=\frac{2j}c\varphi+C$ и $B_z(-\varphi)=-B_z(\varphi)$, то $C=0$.