2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение18.02.2021, 16:59 


13/04/16
102
Существуют ли осмысленные физические величины в механике изменяющиеся при преобразованиях координат не тензорным образом? Вижу в википедии, что есть так называемые псевдовекторные величины (момент импульса, угловая скорость), которые при отражениях преобразуются не как вектор (а с дополнительным умножением на -1). Но в той же статье:

Цитата:
В физических теориях, за исключением таких, в которых присутствует явное и в принципе наблюдаемое нарушение зеркальной симметрии пространства, псевдовекторы могут присутствовать в промежуточных величинах, но в конечных, наблюдаемых — множители (-1) при зеркальных отражениях координат должны уничтожаться, встречаясь в произведениях чётное количество раз (чётное количество псевдовекторных + псевдоскалярных + других псевдотензорных множителей).


После чтения английские версии этих статей у меня сложилось впечатление, что в физике нашлись чисто тензорные величины с близким физическим смыслом, достаточным для описания мира, а понятие псевдовектора устарело. Это верно? Если да, то есть ли какие-то интуитивные соображения объясняющие почему так выходит? Почему в механике без явного нарушения зеркальной симметрии все физические величины преобразуются при смене координат именно по одним общим тензорным правилам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение18.02.2021, 17:21 


24/08/18
204
Может, символы Кристоффеля (которые играютроль напряженностей гравитационного поля)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение18.02.2021, 18:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
ArshakA в сообщении #1505599 писал(а):
После чтения английские версии этих статей у меня сложилось впечатление, что в физике нашлись чисто тензорные величины с близким физическим смыслом, достаточным для описания мира, а понятие псевдовектора устарело. Это верно?
Смотря какое понятие.

Есть вполне инвариантно определяемые псевдоскалярные поля и их всегда можно умножить на тензорные поля. Очень важный пример такого объекта — $N$-псевдоформы, по которым можно интегрировать в неориентированных (в том числе неориентируемых) пространствах (где $N$ — размерность). Именно они в каком-то смысле настоящие формы плотности.

До кучи есть ещё спиноры (очень важно) и есть всякие формы от струй и ростков и всякого, например к ним относится форма $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ расстояния на евклидовой плоскости. И ещё куча объектов должна быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение18.02.2021, 21:39 


13/04/16
102
Понятно, спасибо!

P.S.
Цитата:
Смотря какое понятие.

Момент имульса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение18.02.2021, 23:39 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не, я имел в виду смотря какое понятие о псевдовекторе. Но да, момент импульса на самом деле не псевдовектор, а бивектор (или 2-форма, я точно не знаю как там естественнее), в любой размерности будет так, а в трёхмерии будет случайная связь с псевдовекторами (в двумерии вообще с псевдоскалярами), которая однако не совсем полная: когда у нас есть оператор $A$, действующий на векторах, на разложимом бивекторе $\mathbf u \wedge \mathbf v$ он будет естественным образом действовать как $A \mathbf u \wedge A \mathbf v$, а если представлять псевдовектор как класс эквивалентности пар из вектора и ориентации: $(\mathbf v, o) \sim (-\mathbf v, -o)$ и $(\mathbf v, 0) \sim (\mathbf 0, o)$, то на псевдовекторе $(\mathbf v, o)$ тот оператор действует как $(A \mathbf v, \lvert\det A\rvert o)$. Если взять $A = \alpha > 0$ — простое растяжение всего пространства, то бивектор умножится на $\alpha^2$, а псевдовектор на $\alpha$, как и вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение19.02.2021, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
Осмысленны только скаляры. Причём, рациональные.
А всё остальное - лишь в той мере, что из этого остального можно сделать скаляр какой-нибудь "процедурой", например, свёрткой с "реперной тетрадой".

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение19.02.2021, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
Geen в сообщении #1505661 писал(а):
Осмысленны только скаляры. Причём, рациональные.
А всё остальное - лишь в той мере, что из этого остального можно сделать скаляр какой-нибудь "процедурой", например, свёрткой с "реперной тетрадой".

Хотел бы оспорить, но понимаю, что аргументы "про" и "контра" будут неконструктивными без определения понятия "осмысленности". Если интерпретировать "осмысленность" как независимость от точки, в которой определена величина, то да, "осмысленны" только скаляры, ибо при переносе сохраняются только они. Но, по-моему, это какое-то странное определение "осмысленности". В частности, странно, что аффинная связность - как геометрическое понятие - не оказалась "осмысленной", ибо процедура превращения её в скаляр не очевидна.

По-моему, тензорные правила преобразования величин ничем не лучше любых других. И то, что им придаётся какое-то "особо осмысленное" значение - условность, результат соглашения. Например, плотность ничуть не менее "осмысленна", чем скаляр, обо её интеграл по объёму и есть скаляр, а с другой стороны, то , что можно интегрировать по объёму, нельзя "осмысленным" образом представить как скаляр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение19.02.2021, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
epros в сообщении #1505679 писал(а):
Например, плотность ничуть не менее "осмысленна", чем скаляр, обо её интеграл по объёму и есть скаляр

Именно.
epros в сообщении #1505679 писал(а):
В частности, странно, что аффинная связность - как геометрическое понятие - не оказалась "осмысленной", ибо процедура превращения её в скаляр не очевидна.

Как измерить аффинную связность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение19.02.2021, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
Geen в сообщении #1505689 писал(а):
Как измерить аффинную связность?

Что значит измерить? Это та штука, которая определяет параллельный перенос. В этом и заключается её "осмысленность".

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение19.02.2021, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
epros в сообщении #1505696 писал(а):
Это та штука, которая определяет параллельный перенос

то есть отождествление касательных пространств, а уж там и "поворот на угол" чем не скаляр!

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение19.02.2021, 15:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я тоже не соглашусь, что скаляры надо ставить впереди лошади. Если у нас цель например изучить какую-то динамическую систему и подобрать динамическую систему, описывающую опыты лучше (физика), то per se полезны не скаляры, а вещи, помогающие определить эту систему и разобраться в её поведении после. Некоторые вещи мы можем рассчитать без прибегания к компонентам, и даже компоненты величин не всегда рациональные скаляры. Это может быть какое-то другое счётное или конечное множество, естественно не отождествляемое с $\mathbb Q$, например $\mathbb Z / n \mathbb Z$ при $n \ne 0$ никак естественно не вкладывается в $\mathbb Q$. (При $n = 0$ это $\mathbb Z$ и уже вложится.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Важны ли нетензорные физические величины?
Сообщение19.02.2021, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
alcoholist в сообщении #1505704 писал(а):
то есть отождествление касательных пространств, а уж там и "поворот на угол" чем не скаляр!

Ну да, отождествление касательных пространств. Но откуда здесь вытащить скаляры - непонятно. Даже такие, как поворот на угол (относительно чего?).

Понятно, что в заданных координатах связность записывается символами Кристоффеля, т.е. числами. Но они преобразуются не как скаляры и даже не как тензоры. И как им поставить во взаимно однозначное соответствие множество скаляров, я пока не понимаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group