Важны ли нетензорные физические величины?

[ArshakA]

Существуют ли осмысленные физические величины в механике изменяющиеся при преобразованиях координат не тензорным образом? Вижу в википедии, что есть так называемые псевдовекторные величины (момент импульса, угловая скорость), которые при отражениях преобразуются не как вектор (а с дополнительным умножением на -1). Но в той же статье:

Цитата:

В физических теориях, за исключением таких, в которых присутствует явное и в принципе наблюдаемое нарушение зеркальной симметрии пространства, псевдовекторы могут присутствовать в промежуточных величинах, но в конечных, наблюдаемых — множители (-1) при зеркальных отражениях координат должны уничтожаться, встречаясь в произведениях чётное количество раз (чётное количество псевдовекторных + псевдоскалярных + других псевдотензорных множителей).

После чтения английские версии этих статей у меня сложилось впечатление, что в физике нашлись чисто тензорные величины с близким физическим смыслом, достаточным для описания мира, а понятие псевдовектора устарело. Это верно? Если да, то есть ли какие-то интуитивные соображения объясняющие почему так выходит? Почему в механике без явного нарушения зеркальной симметрии все физические величины преобразуются при смене координат именно по одним общим тензорным правилам?

[Alastoros]

Может, символы Кристоффеля (которые играютроль напряженностей гравитационного поля)?

[arseniiv]

ArshakA в сообщении #1505599 писал(а):

После чтения английские версии этих статей у меня сложилось впечатление, что в физике нашлись чисто тензорные величины с близким физическим смыслом, достаточным для описания мира, а понятие псевдовектора устарело. Это верно?

Смотря какое понятие.

Есть вполне инвариантно определяемые псевдоскалярные поля и их всегда можно умножить на тензорные поля. Очень важный пример такого объекта — $N$-псевдоформы, по которым можно интегрировать в неориентированных (в том числе неориентируемых) пространствах (где $N$ — размерность). Именно они в каком-то смысле настоящие формы плотности.

До кучи есть ещё спиноры (очень важно) и есть всякие формы от струй и ростков и всякого, например к ним относится форма $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$ расстояния на евклидовой плоскости. И ещё куча объектов должна быть.

[ArshakA]

Понятно, спасибо!

P.S.

Цитата:

Смотря какое понятие.

Момент имульса.

[arseniiv]

Не, я имел в виду смотря какое понятие о псевдовекторе. Но да, момент импульса на самом деле не псевдовектор, а бивектор (или 2-форма, я точно не знаю как там естественнее), в любой размерности будет так, а в трёхмерии будет случайная связь с псевдовекторами (в двумерии вообще с псевдоскалярами), которая однако не совсем полная: когда у нас есть оператор $A$, действующий на векторах, на разложимом бивекторе $\mathbf u \wedge \mathbf v$ он будет естественным образом действовать как $A \mathbf u \wedge A \mathbf v$, а если представлять псевдовектор как класс эквивалентности пар из вектора и ориентации: $(\mathbf v, o) \sim (-\mathbf v, -o)$ и $(\mathbf v, 0) \sim (\mathbf 0, o)$, то на псевдовекторе $(\mathbf v, o)$ тот оператор действует как $(A \mathbf v, \lvert\det A\rvert o)$. Если взять $A = \alpha > 0$ — простое растяжение всего пространства, то бивектор умножится на $\alpha^2$, а псевдовектор на $\alpha$, как и вектор.

[Geen]

Осмысленны только скаляры. Причём, рациональные.
А всё остальное - лишь в той мере, что из этого остального можно сделать скаляр какой-нибудь "процедурой", например, свёрткой с "реперной тетрадой".

[epros]

Geen в сообщении #1505661 писал(а):

Осмысленны только скаляры. Причём, рациональные.
А всё остальное - лишь в той мере, что из этого остального можно сделать скаляр какой-нибудь "процедурой", например, свёрткой с "реперной тетрадой".

Хотел бы оспорить, но понимаю, что аргументы "про" и "контра" будут неконструктивными без определения понятия "осмысленности". Если интерпретировать "осмысленность" как независимость от точки, в которой определена величина, то да, "осмысленны" только скаляры, ибо при переносе сохраняются только они. Но, по-моему, это какое-то странное определение "осмысленности". В частности, странно, что аффинная связность - как геометрическое понятие - не оказалась "осмысленной", ибо процедура превращения её в скаляр не очевидна.

По-моему, тензорные правила преобразования величин ничем не лучше любых других. И то, что им придаётся какое-то "особо осмысленное" значение - условность, результат соглашения. Например, плотность ничуть не менее "осмысленна", чем скаляр, обо её интеграл по объёму и есть скаляр, а с другой стороны, то , что можно интегрировать по объёму, нельзя "осмысленным" образом представить как скаляр.

[Geen]

epros в сообщении #1505679 писал(а):

Например, плотность ничуть не менее "осмысленна", чем скаляр, обо её интеграл по объёму и есть скаляр

Именно.

epros в сообщении #1505679 писал(а):

В частности, странно, что аффинная связность - как геометрическое понятие - не оказалась "осмысленной", ибо процедура превращения её в скаляр не очевидна.

Как измерить аффинную связность?

[epros]

Geen в сообщении #1505689 писал(а):

Как измерить аффинную связность?

Что значит измерить? Это та штука, которая определяет параллельный перенос. В этом и заключается её "осмысленность".

[alcoholist]

epros в сообщении #1505696 писал(а):

Это та штука, которая определяет параллельный перенос

то есть отождествление касательных пространств, а уж там и "поворот на угол" чем не скаляр!

[arseniiv]

Я тоже не соглашусь, что скаляры надо ставить впереди лошади. Если у нас цель например изучить какую-то динамическую систему и подобрать динамическую систему, описывающую опыты лучше (физика), то per se полезны не скаляры, а вещи, помогающие определить эту систему и разобраться в её поведении после. Некоторые вещи мы можем рассчитать без прибегания к компонентам, и даже компоненты величин не всегда рациональные скаляры. Это может быть какое-то другое счётное или конечное множество, естественно не отождествляемое с $\mathbb Q$, например $\mathbb Z / n \mathbb Z$ при $n \ne 0$ никак естественно не вкладывается в $\mathbb Q$. (При $n = 0$ это $\mathbb Z$ и уже вложится.)

[epros]

alcoholist в сообщении #1505704 писал(а):

то есть отождествление касательных пространств, а уж там и "поворот на угол" чем не скаляр!

Ну да, отождествление касательных пространств. Но откуда здесь вытащить скаляры - непонятно. Даже такие, как поворот на угол (относительно чего?).

Понятно, что в заданных координатах связность записывается символами Кристоффеля, т.е. числами. Но они преобразуются не как скаляры и даже не как тензоры. И как им поставить во взаимно однозначное соответствие множество скаляров, я пока не понимаю.