Простые элементы

[EminentVictorians]

Винберг, стр. 122 писал(а):

Определение 4.Необратимый ненулевой элемент $p$ целостного кольца называется простым, если он не может быть представлен в виде $p = ab$, $a$ и $b$ - необратимые элементы.
Иначе говоря, элемент $p$ простой, если всякий его делитель ассоциирован либо с 1, либо с $p$.

Пытаюсь доказать эквивалентность этих определений, а точнее, что из условия "всякий его делитель ассоциирован либо с 1, либо с $p$" вытекает ненулевость и необратимость $p$. С чего начать?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1505348 писал(а):

из условия "всякий его делитель ассоциирован либо с 1, либо с $p$" вытекает ненулевость и необратимость $p$.

Это вообще неправда (попробуйте найти контрпримеры). Речь в обоих вариантах (невозможность представления в виде произведения необратимых и ассоциированность делителей) только о ненулевых необратимых элементах.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1505353 писал(а):

Это вообще неправда (попробуйте найти контрпримеры).

Я искал, т.к. предполагал такой вариант, но не нашел.

-- 16.02.2021, 22:13 --

А, тут же область целостности, а не евклидово кольцо, так что поле из 2 элементов подойдет.

[EminentVictorians]

Возник еще один смежный вопрос.

Пусть $A$ - область целостности. Любой делитель ненулевого $p \in A$ ассоциирован либо с $p$, либо с 1. Следует ли из этого, что $p$ необратим?

Я решал так. Рассмотрим поле из 2-ух элементов. Единица делится на саму себя ($1 = 1 \cdot 1$) и не делится на ноль, т.к. $(\forall q \in A) 0 \cdot q = 0 \ne 1$. Таким образом, множество делителей единицы суть $\{1\}$. Т.е. все делители единицы ассоциированы с единицей. Но вместе с этим единица является обратимым элементом. Получается, что не следует. Здесь все нормально?

[nnosipov]

EminentVictorians в сообщении #1505408 писал(а):

Здесь все нормально?

Все нормально, кроме того, что брать в качестве примера поле совсем не обязательно и даже глупо (какая может быть теория делимости в поле, где все на все делится?).

EminentVictorians в сообщении #1505408 писал(а):

Пусть $A$ - область целостности. Любой делитель ненулевого $p \in A$ ассоциирован либо с $p$, либо с 1. Следует ли из этого, что $p$ необратим?

Очевидно, не следует, так как в роли $p$ можно взять любой обратимый элемент (каковые в $A$, разумеется, существуют).

[EminentVictorians]

nnosipov в сообщении #1505411 писал(а):

в роли $p$ можно взять любой обратимый элемент (каковые в $A$, разумеется, существуют).

Пусть $p$ - любой обратимый элемент из $A$. Почему все его делители ассоциированы либо с 1 либо с $p$?

-- 17.02.2021, 19:50 --

Ой, глупость написал. Пусть $s$ - делитель $p$ и $p$ обратим. Тогда 1 делится на $p$, а $p$ делится на $s$, значит 1 делится на $s$. А то, что $s$ делится на 1 очевидно. Значит $s$ и 1 ассоциированы.

[EminentVictorians]

Пусть $a$ и $b$ - простые элементы евклидова кольца $A$. Более того, они ассоциированы: $a \sim b$. Следует ли из этого, что они равны?

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1505635 писал(а):

Следует ли из этого, что они равны?

Приведите пример какого-нибудь евклидова кольца и проверьте это свойство в нём.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1505637 писал(а):

Приведите пример какого-нибудь евклидова кольца и проверьте это свойство в нём.

Интуитивно кажется, что выполняется, но доказать не могу. Если посмотреть на кольцо целых чисел, то вроде все нормально: простые ассоциированные обязательно равны.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1505639 писал(а):

Если посмотреть на кольцо целых чисел, то вроде все нормально: простые ассоциированные обязательно равны.

Да ладно? Какие числа ассоциированы с $2$?

[EminentVictorians]

Точно. 2 и -2 оба простые и ассоциированы, но не равны. Я забыл про отрицательные числа как-то..

-- 19.02.2021, 00:10 --

Тут просто дело вот в чем. Я разбираю доказательство теоремы о единственности разложения на множители у Винберга.

Винберг, стр. 122 писал(а):

Теорема 2.В евклидовом кольце всякий необратимый ненулевой элемент может быть разложен на простые множители, причем это разложение единственно с точностью до перестановки множителей и умножения их на обратимые элементы.Замечание 4.Говоря о разложении на простые множители, мы не исключаем разложения, состоящего только из одного множителя.
Доказательство.<....>Докажем теперь индукцией по $n$, что если

$$a = p_1p_2...p_n = q_1q_2...q_m, (9)$$

где $p_i, q_j$ - простые элементы, то $m=n$ и, после подходящей перенумерации множителей, $p_i \sim q_i$ при $i = 1, 2, ... , n$
При $n=1$ это утверждение очевидно. При $n > 1$ имеем $p_1|q_1q_2...q_m$ и по лемме 1 существует такой номер $i$, что $p_1|q_i$. Тогда $p_1 \sim q_i$. Можно считать, что $i = 1$ и $p_1 = q_1$. Сокращая равенство (9) на $p_1$ получаем

$$p_2...p_n = q_2...q_m$$

<....>

Я не все полностью доказательство процитировал, только основное место. Мне здесь непонятны несколько моментов.

1. Если мы раскладываем на простые множители, то причем здесь "с точностью до <...> и умножения их на обратимые элементы". Простые же не являются обратимыми по определению.
2. Я согласен, что $p_1 \sim q_i$, но откуда следует, что $p_1 = q_1$. ?

[EminentVictorians]

Поправьте, если я ошибаюсь, но насколько я понял эта теорема не верна. Пример из википедии: в кольце гауссовых целых чисел $5 = (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 - i)(2 + i)$, так что однозначности разложения нету. Вместо "с точностью до обратимых" видимо имелось в виду "с точностью до ассоциированных".

Или второй вариант: получить один ассоциированный из другого можно с помощью домножения на некоторый обратимый. Это здесь имелось в ввиду?

-- 19.02.2021, 23:21 --

Если подразумевается трактовка из второго варианта, то теорема, естественно, верна. (просто написана больно уж замысловато, а я не очень пока умею такие тексты расшифровывать).

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1505758 писал(а):

Вместо "с точностью до обратимых" видимо имелось в виду "с точностью до ассоциированных".

Я не вижу, где в вашей цитате "с точностью до обратимых". Там написано "с точностью до умножения на обратимые". И ваш пример это не нарушает: $2 + i = i \cdot (1 - 2i)$, причем $i$ обратимо.

EminentVictorians в сообщении #1505758 писал(а):

получить один ассоциированный из другого можно с помощью домножения на некоторый обратимый

Это определение ассоциированности.

Чуть более строгая формулировка теоремы такая: если есть два разложения, то они состоят из одинакового числа сомножителей, причем можно упорядочить эти сомножители так, что стоящие на позициях с одинаковым номером сомножители будут ассоциированы (ниже назовем такие разложения "похожими"; заметим, что похожесть разложений - отношение эквивалентности).

EminentVictorians в сообщении #1505656 писал(а):

Я согласен, что $p_1 \sim q_i$, но откуда следует, что $p_1 = q_1$

Пусть у нас есть два разложения, причем $p_1 \sim q_i$. Изготовим из этих двух разложений два новых, причем так, что новые разложения похожи тогда и только тогда, когда похожи исходные.
Пусть $p_1 = x q_i$, где $x$ обратим. Введем новое разложение $q'$, похожее на $q$. Если $i = 1$, зададим его

$$q'_j = \begin{cases} p_1, j = 1 \\ x^{-1} q_2, j = 2 \\ q_j, j > 2\end{cases}$$

.
Если $i > 1$, зададим его

$$q'_j = \begin{cases} p_1, j = 1\\ x^{-1} q_1, i = j \\ q_j, j \neq 1, i\end{cases}$$

.
Непосредственно проверяется, что $q'$ похоже на $q$. Теперь заметим, что $p_2\ldots p_n$ и $q'_2\ldots q'_n$ - разложения одного и того же числа, и они похожи тогда и только тогда, когда похожи $p$ и $q'$.