Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом

[VASILISK11]

Feldhamster в сообщении #1505142 писал(а):

Но верхняя пружина в составе удвоенной пружины имеет коэффициент жесткости $k/2$, а не $k$, когда она в одиночку и без груза растягивается на 1 см

Нет, она имеет коэффициент жесткости $k$, что в составе двух пружин, что сама. Это уже система из двух последовательных пружин имеет коэффициент жесткости $k/2$.

Цитата:

Но если нижнюю пружину заменить на груз массой $m$, то в такой системе останется только одна пружина с коэффициентом жесткости $k$. И тогда правомерно считать, что верхняя пружина без груза растянулась на 1 см. Но в этом случае нет второй пружины, которая растягивается. ))

Да, мы заменяем вторую пружину грузом. У нас, изначально было 4 см растяжения двух последовательных пружин. Нижняя пружина растянулась на 1 см. Мы её убираем и заменяем грузом, эквивалентной массы. Оставшаяся пружина растянулась на $4-1=3$ см. При этом, пружина без груза растянется на 1 см. Следовательно, груз растягивает пружину на $3-1=2$ см. Получается, что для груза коэффициент жесткости пружины $k/2$. Увеличивая груз в два раза, получаем $1+4=5$ см.

[vpb]

А по-моему, очевидно, что единственно разумное решение тут --через прогрессию, и детям, не умеющим еще суммировать прогрессию, её давать нельзя. Т.е. как ТС изначально и думал (я так думаю...).

[fred1996]

AnatolyBa
Ради полноты картины у нас результат должен зависеть от геометрических размеров ( длина и "поперечное сечение") пружины, модуль Юнга или модуль сдвига, плотность материала, ускорение свободного падения. Но у нас все эти зависимости уже зашиты в формулу растяжения пружины: $F=kx$. То есть все эти параметры уже зашиты в F и k. И если длина не входит в явном виде в конечную приведённую формулу, ей неоткуда взяться в ответе. Она "спряталась" в других параметрах.

Ну а чтобы продолжить задачку. Можно сосчитать, насколько изменится потенциальная энергия системы, если ту же пружину подвесить и отпустить. пока потенциальная энергия не достигнет минимума. Тут уже можно воспользоваться очевидным фактом, что $\alpha=0.5$ Фактом, который был не нужен в изначальной задаче.

-- 15.02.2021, 08:20 --

vpb
Ну между прочим маленький Гаусс сообразил, как считать сумму арифметической прогрессии.
Тут та же история. Берёте, разбиваете пружину на мелкие кусочки, а потом выделяете пары симметричных кусочков. В среднем на них действует сила $0.5mg$. Значит и вся пружина растянется под действием этой средней силы. Вот и вся прогрессия.
Я, конечно, не Гаусс. Но такие вещи понимал уже в пятом классе.

[vpb]

fred1996 в сообщении #1505150 писал(а):

Ну между прочим маленький Гаусс сообразил, как считать сумму арифметической прогрессии.
Тут та же история. Берёте, разбиваете пружину на мелкие кусочки, а потом выделяете пары симметричных кусочков. В среднем на них действует сила $0.5mg$. Значит и вся пружина растянется под действием этой средней силы. Вот и вся прогрессия.
Я, конечно, не Гаусс. Но такие вещи понимал уже в пятом классе.

Так то же Гаусс, хотя и маленький. Лично я бы не понял этого рассуждения даже классе в 7-м, хотя и знал тогда всё про прогрессию. Из-за того, что "средняя сила" --- какое-то очень нечеткое понятие.

[Feldhamster]

VASILISK11 в сообщении #1505145 писал(а):

У нас, изначально было 4 см растяжения двух последовательных пружин. Нижняя пружина растянулась на 1 см. Мы её убираем и заменяем грузом, эквивалентной массы. Оставшаяся пружина растянулась на $4-1=3$ см.

Посмотреть с этой стороны я не додумался. Менять все время нижнюю пружину, убирая тем самым 1 см. Для тройной пружины, которая растянулась (без груза) на 9 см, заменяем нижнюю пружину на груз эквивалентной массы и получаем, что система из двух пружин растягивается на $9-1=8$ см. Но, как уже известно (кстати, с использованием вычислений) система из двух пружин без груза растягивается на 4 см. Значит, груз дополнительно растягивает две верхние пружины на $8-4=4$ см. Получилось не очень: две одинаковые цифры 4. Четверная пружина растягивается на 16 см. Заменяем нижнюю на груз эквивалентной массы, убирая 1 см и получаем, что система из трех пружин растягивается на $16-1=15$ см. А без груза система из трех пружин растягивается на 9 см. Значит, груз дополнительно растягивает три верхние пружины на $15-9=6$ см.

Получается формула:

$$\Delta L = (N+1)^2-1-N^2 = 2N$$

$\Delta L$ - дополнительное растяжение пружины от груза;
$N$ - не знаю, как грамотно и кратко назвать это число. Это положительное целое (?) число, на которое умножается масса пружины. Результат произведения это масса груза, подвешиваемого к пружине.

В более общем виде можно записать как:

$$\Delta L = 2N\Delta l$$

$\Delta l$ - растяжение пружины без груза;

Вроде всё понятно с таким вариантом решения. Только неясно, как тут участвует теория размерностей. И какие-то вычисления поначалу сделать надо, чтобы понять закономерность. Также как и в случае с прогрессией.

-- 16.02.2021, 11:53 --

vpb в сообщении #1505147 писал(а):

А по-моему, очевидно, что единственно разумное решение тут --через прогрессию, и детям, не умеющим еще суммировать прогрессию, её давать нельзя. Т.е. как ТС изначально и думал (я так думаю...).

Я открыл тему из-за того, что у меня поначалу не получилось нормального решения через прогрессию, как сейчас понимаю, из-за того, что первым членом прогрессии был $0$ (на самом нижнем витке нерастянутой пружины подвесил груз массой $0$). Использовать прогрессию я решил после того, как дочь сказала про авторское решение (в первом посте темы): "а как я могла до этого догадаться?". В гугле первой вышла подсказка про прогрессию, через нее и попробовал. Это показалось логичнее - разбить на отдельные участки (для простоты - на витки) и увидев закономерность, составить\применить формулу. И дочери тоже так показалось. Но как выяснилось, она в школе еще не проходила арифметическую прогрессию. Учится в "обычной" средней школе, также как я когда-то.

А больше никаких вариантов решения не знал. Хотя нет, про интегральный способ, как универсальный, догадывался. Но во-1, мое представление об этом смутное, во-2, для 7-го класса рано такой способ. Сейчас мне кажется, что последний способ (с последовательными пружинами вместо груза) поинтереснее.

-- 16.02.2021, 12:24 --

fred1996 в сообщении #1505150 писал(а):

Ну а чтобы продолжить задачку. Можно сосчитать, насколько изменится потенциальная энергия системы, если ту же пружину подвесить и отпустить. пока потенциальная энергия не достигнет минимума. Тут уже можно воспользоваться очевидным фактом, что $\alpha=0.5$ Фактом, который был не нужен в изначальной задаче.

Да, через потенциальную энергию наиболее "правомерно", ибо эту тему ученики 7 класса уже проходили, т.е. должны знать. Надо попробовать. А чем является альфа?

[VASILISK11]

Feldhamster в сообщении #1505256 писал(а):

Но как выяснилось, она в школе еще не проходила арифметическую прогрессию. Учится в "обычной" средней школе, также как я когда-то.

Насколько я помню школьные олимпиадные задачи, там часто надо решать именно обходным путем, потому что решение "в лоб" выходит за рамки школьной программы. Две невесомые пружины, соединенные последовательно, растянутся грузом в два раза больше, чем одна. Массивная пружина имеет равномерное распределение массы. Две последовательные пружины будут иметь точно такое же равномерное распределение массы. Поэтому растяжение увеличится в четыре раза, потому что масса увеличилась в два раза, а жесткость уменьшилась в два раза, как и для невесомых пружин. Пружины подобны, что невесомые, что массивные.