2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом
Сообщение15.02.2021, 18:25 


29/09/17
214
Feldhamster в сообщении #1505142 писал(а):
Но верхняя пружина в составе удвоенной пружины имеет коэффициент жесткости $k/2$, а не $k$, когда она в одиночку и без груза растягивается на 1 см

Нет, она имеет коэффициент жесткости $k$, что в составе двух пружин, что сама. Это уже система из двух последовательных пружин имеет коэффициент жесткости $k/2$.
Цитата:
Но если нижнюю пружину заменить на груз массой $m$, то в такой системе останется только одна пружина с коэффициентом жесткости $k$. И тогда правомерно считать, что верхняя пружина без груза растянулась на 1 см. Но в этом случае нет второй пружины, которая растягивается. ))

Да, мы заменяем вторую пружину грузом. У нас, изначально было 4 см растяжения двух последовательных пружин. Нижняя пружина растянулась на 1 см. Мы её убираем и заменяем грузом, эквивалентной массы. Оставшаяся пружина растянулась на $4-1=3$ см. При этом, пружина без груза растянется на 1 см. Следовательно, груз растягивает пружину на $3-1=2$ см. Получается, что для груза коэффициент жесткости пружины $k/2$. Увеличивая груз в два раза, получаем $1+4=5$ см.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом
Сообщение15.02.2021, 18:52 
Заслуженный участник


18/01/15
3224
А по-моему, очевидно, что единственно разумное решение тут --через прогрессию, и детям, не умеющим еще суммировать прогрессию, её давать нельзя. Т.е. как ТС изначально и думал (я так думаю...).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом
Сообщение15.02.2021, 19:16 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
AnatolyBa
Ради полноты картины у нас результат должен зависеть от геометрических размеров ( длина и "поперечное сечение") пружины, модуль Юнга или модуль сдвига, плотность материала, ускорение свободного падения. Но у нас все эти зависимости уже зашиты в формулу растяжения пружины: $F=kx$. То есть все эти параметры уже зашиты в F и k. И если длина не входит в явном виде в конечную приведённую формулу, ей неоткуда взяться в ответе. Она "спряталась" в других параметрах.

Ну а чтобы продолжить задачку. Можно сосчитать, насколько изменится потенциальная энергия системы, если ту же пружину подвесить и отпустить. пока потенциальная энергия не достигнет минимума. Тут уже можно воспользоваться очевидным фактом, что $\alpha=0.5$ Фактом, который был не нужен в изначальной задаче.

-- 15.02.2021, 08:20 --

vpb
Ну между прочим маленький Гаусс сообразил, как считать сумму арифметической прогрессии.
Тут та же история. Берёте, разбиваете пружину на мелкие кусочки, а потом выделяете пары симметричных кусочков. В среднем на них действует сила $0.5mg$. Значит и вся пружина растянется под действием этой средней силы. Вот и вся прогрессия.
Я, конечно, не Гаусс. Но такие вещи понимал уже в пятом классе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом
Сообщение15.02.2021, 19:53 
Заслуженный участник


18/01/15
3224
fred1996 в сообщении #1505150 писал(а):
Ну между прочим маленький Гаусс сообразил, как считать сумму арифметической прогрессии.
Тут та же история. Берёте, разбиваете пружину на мелкие кусочки, а потом выделяете пары симметричных кусочков. В среднем на них действует сила $0.5mg$. Значит и вся пружина растянется под действием этой средней силы. Вот и вся прогрессия.
Я, конечно, не Гаусс. Но такие вещи понимал уже в пятом классе.
Так то же Гаусс, хотя и маленький. Лично я бы не понял этого рассуждения даже классе в 7-м, хотя и знал тогда всё про прогрессию. Из-за того, что "средняя сила" --- какое-то очень нечеткое понятие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом
Сообщение16.02.2021, 11:31 


11/02/21

26
VASILISK11 в сообщении #1505145 писал(а):
У нас, изначально было 4 см растяжения двух последовательных пружин. Нижняя пружина растянулась на 1 см. Мы её убираем и заменяем грузом, эквивалентной массы. Оставшаяся пружина растянулась на $4-1=3$ см.

Посмотреть с этой стороны я не додумался. Менять все время нижнюю пружину, убирая тем самым 1 см. Для тройной пружины, которая растянулась (без груза) на 9 см, заменяем нижнюю пружину на груз эквивалентной массы и получаем, что система из двух пружин растягивается на $9-1=8$ см. Но, как уже известно (кстати, с использованием вычислений) система из двух пружин без груза растягивается на 4 см. Значит, груз дополнительно растягивает две верхние пружины на $8-4=4$ см. Получилось не очень: две одинаковые цифры 4. Четверная пружина растягивается на 16 см. Заменяем нижнюю на груз эквивалентной массы, убирая 1 см и получаем, что система из трех пружин растягивается на $16-1=15$ см. А без груза система из трех пружин растягивается на 9 см. Значит, груз дополнительно растягивает три верхние пружины на $15-9=6$ см.

Получается формула: $$\Delta L = (N+1)^2-1-N^2 = 2N$$
$\Delta L$ - дополнительное растяжение пружины от груза;
$N$ - не знаю, как грамотно и кратко назвать это число. Это положительное целое (?) число, на которое умножается масса пружины. Результат произведения это масса груза, подвешиваемого к пружине.

В более общем виде можно записать как:
$$\Delta L = 2N\Delta l$$
$\Delta l$ - растяжение пружины без груза;

Вроде всё понятно с таким вариантом решения. Только неясно, как тут участвует теория размерностей. И какие-то вычисления поначалу сделать надо, чтобы понять закономерность. Также как и в случае с прогрессией.

-- 16.02.2021, 11:53 --

vpb в сообщении #1505147 писал(а):
А по-моему, очевидно, что единственно разумное решение тут --через прогрессию, и детям, не умеющим еще суммировать прогрессию, её давать нельзя. Т.е. как ТС изначально и думал (я так думаю...).
Я открыл тему из-за того, что у меня поначалу не получилось нормального решения через прогрессию, как сейчас понимаю, из-за того, что первым членом прогрессии был $0$ (на самом нижнем витке нерастянутой пружины подвесил груз массой $0$). Использовать прогрессию я решил после того, как дочь сказала про авторское решение (в первом посте темы): "а как я могла до этого догадаться?". В гугле первой вышла подсказка про прогрессию, через нее и попробовал. Это показалось логичнее - разбить на отдельные участки (для простоты - на витки) и увидев закономерность, составить\применить формулу. И дочери тоже так показалось. Но как выяснилось, она в школе еще не проходила арифметическую прогрессию. Учится в "обычной" средней школе, также как я когда-то.

А больше никаких вариантов решения не знал. Хотя нет, про интегральный способ, как универсальный, догадывался. Но во-1, мое представление об этом смутное, во-2, для 7-го класса рано такой способ. Сейчас мне кажется, что последний способ (с последовательными пружинами вместо груза) поинтереснее.

-- 16.02.2021, 12:24 --

fred1996 в сообщении #1505150 писал(а):
Ну а чтобы продолжить задачку. Можно сосчитать, насколько изменится потенциальная энергия системы, если ту же пружину подвесить и отпустить. пока потенциальная энергия не достигнет минимума. Тут уже можно воспользоваться очевидным фактом, что $\alpha=0.5$ Фактом, который был не нужен в изначальной задаче.

Да, через потенциальную энергию наиболее "правомерно", ибо эту тему ученики 7 класса уже проходили, т.е. должны знать. Надо попробовать. А чем является альфа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вертикально подвешенная пружина - без груза и с грузом
Сообщение16.02.2021, 12:53 


29/09/17
214
Feldhamster в сообщении #1505256 писал(а):
Но как выяснилось, она в школе еще не проходила арифметическую прогрессию. Учится в "обычной" средней школе, также как я когда-то.

Насколько я помню школьные олимпиадные задачи, там часто надо решать именно обходным путем, потому что решение "в лоб" выходит за рамки школьной программы. Две невесомые пружины, соединенные последовательно, растянутся грузом в два раза больше, чем одна. Массивная пружина имеет равномерное распределение массы. Две последовательные пружины будут иметь точно такое же равномерное распределение массы. Поэтому растяжение увеличится в четыре раза, потому что масса увеличилась в два раза, а жесткость уменьшилась в два раза, как и для невесомых пружин. Пружины подобны, что невесомые, что массивные.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group