2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение04.02.2021, 20:25 
Аватара пользователя


16/03/17
475
Vladimir Pliassov в сообщении #1504102 писал(а):
Что является аргументом у $f(n+1)$ -- $n$ или $n+1$?

$n$, конечно. В том-то же и дело, что $f(n)$ и $f(n+1)$ принимают на некотором определенном аргументе $n_1$ разные значения: первая функция принимает значение $f(n_1)$, а вторая - $f(n_1+1)$.

Вы же в начале писали про $\frac{x_n}{y_n}$ и $\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}$ и пытались разобраться разные ли у них пределы при $ n\to \infty$, и они как раз и иллюстрируют эти две разные последовательности.

И я же писал вам выше, что если запись $f(n+1)$ вам непонятна или непривычна, то рассматривайте это как последовательность $g(n) = f(n+1)$. Здесь совсем должно быть очевидно какой у нее аргумент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение05.02.2021, 19:25 


21/04/19
1184
Odysseus в сообщении #1504087 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1504080 писал(а):
$f(n)$ и $g(n) = f(n+1)$ это одна и та же последовательность

Нет, это (в общем случае) две разные последовательности.

Теперь -- благодаря Вам -- я это знаю, но два дня назад еще не знал. Однако я шел к пониманию этого, в подтверждение этому привожу выдержку из своего черновика.

Цитата:
В доказательстве рассматривается член номер $n+1$ и доказывается, что он попадает в этот промежуток:

$$l-\varepsilon<\frac {x_{n+1}}{y_{n+1}}<l+\varepsilon,$$
или

$$\left \vert \frac {x_{n+1}}{y_{n+1}}-l\right \vert <\varepsilon,$$
но то, что в него попадает также и член номер $n$, то есть что

$$\left \vert \frac {x_{n}}{y_{n}}-l\right \vert <\varepsilon,$$
не доказывается.

Он бы туда попадал, если бы было

$$\frac {x_{n+1}}{y_{n+1}}=\frac {x_{n}}{y_{n}},$$
то есть если бы все члены рассматриваемой последовательности -- обозначим ее $x$ -- были равны, либо если бы имелась другая последовательность, последовательность $x'$, у которой член $\frac {x_{n}}{y_{n}}$ равен члену $\frac {x_{n+1}}{y_{n+1}}$ последовательности $x$.

Первый случай отбрасывается, значит, можно говорить только о втором случае, то есть о другой последовательности.

Таким образом, налицо подмена одной последовательности другой.

Последний аргумент я приводил в пользу предположения, что теорема не доказана, так как я полагал, что в доказательстве речь идет об одной и той же последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение05.02.2021, 20:59 
Аватара пользователя


16/03/17
475
Главное если в итоге во всем разобрались. Или еще остались какие-то сомнения/вопросы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение05.02.2021, 21:13 


21/04/19
1184
Я разобрался пока что только в том, что это две разные последовательности, теперь думаю, как доказать, что они имеют один и тот же предел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение05.02.2021, 22:18 
Аватара пользователя


16/03/17
475
Vladimir Pliassov в сообщении #1504200 писал(а):
теперь думаю, как доказать, что они имеют один и тот же предел.

Это не совсем так. Не "имеют один и тот же предел", а "если одна из них имеет некий предел, то и вторая имеет тот же предел". Это разные утверждения, поскольку они обе могут не иметь никакого предела.

И доказательство этого совершенно прямолинейно.
1) Вам дано, что одна последовательность имеет некий предел. Запишите полностью, что это значит исходя из определения предела.
2) Нужно доказать, что и вторая имеет тот же предел. Запишите полностью, что это значит исходя из определения предела.
3) Докажите №2 с учетом того, что дано в №1, и используя полностью расписанные определения предела в каждом случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение06.02.2021, 01:10 


21/04/19
1184
Odysseus в сообщении #1504199 писал(а):
Или еще остались какие-то сомнения/вопросы?

В выражении

$$\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_{n}}=l+\alpha_n$$

$x_{n+1}$ и $x_n$ это две разные последовательности или два соседних члена одной последовательности?

То же самое касается $y_{n+1}$ и $y_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение06.02.2021, 01:30 
Аватара пользователя


16/03/17
475
А это неважно. Как захотите/определите, так и будет, и ни на что этот выбор не повлияет

Возьмите две разные последовательности $f(n)$ и $g(n)$ и сформируйте из них последовательность $h(n) = f(n) +g(n)$. Допустим, $f(n) = n$, а $g(n) = n+1$. Тогда $h(n) = n+n+1$. А теперь задайте себе вопрос: в правой части две разные последовательности или два члена одной последовательности? И то, и другое будет правильно.

Когда они входят в одно выражение и вместе формируют какую-то другую последовательность - можно считать как угодно. Но когда вы рассматриваете их отдельно (что вам и требовалось делать, когда речь шла о доказательстве равенства пределов), так уже не получится, необходимо будет считать их разными.

Но вы все же делаете не то, что я вам рекомендовал в этой теме, причем уже несколько раз. Это, конечно, ваше право, но пока вы явно не напишите то, что я вас просил, а именно (в отношении $f(n)$ и $g(n) = f(n+1)$):
Odysseus в сообщении #1504209 писал(а):
1) Вам дано, что одна последовательность имеет некий предел. Запишите полностью, что это значит исходя из определения предела.
2) Нужно доказать, что и вторая имеет тот же предел. Запишите полностью, что это значит исходя из определения предела.
3) Докажите №2 с учетом того, что дано в №1, и используя полностью расписанные определения предела в каждом случае.


хотя бы №1 и №2 с попытками решения №3, я, извините, в этой теме вам больше отвечать не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение08.02.2021, 15:09 


21/04/19
1184
Odysseus в сообщении #1504209 писал(а):
1) Вам дано, что одна последовательность имеет некий предел. Запишите полностью, что это значит исходя из определения предела.
2) Нужно доказать, что и вторая имеет тот же предел. Запишите полностью, что это значит исходя из определения предела.
3) Докажите №2 с учетом того, что дано в №1, и используя полностью расписанные определения предела в каждом случае.

1) Уже доказано, что

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}=l,$$
то есть что для всякого $\varepsilon>0$ существует $n_0$ (см. первоначальное сообщение) такое, что при всех $n\geqslant n_0$ имеем

$$\left \vert \frac {x_{n+1}}{y_{n+1}}-l\right \vert <\varepsilon.$$
2) Нужно доказать, что также и

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=l,$$
то есть что для всякого $\varepsilon_1>0$ существует $N'$ такое, что при всех $n>N'$

$$\left \vert \frac {x_{n}}{y_{n}}-l\right \vert <\varepsilon_1.$$
Поскольку $\varepsilon$ в доказательстве теоремы был выбран произвольно (в доказательстве не было сказано, что он был выбран, но, очевидно, это имелось в виду), можно взять $\varepsilon_1=\varepsilon$ и переформулировать цель нашего доказательства:

нужно доказать, что для $\varepsilon$ существует $N'$ такое, что при всех $n>N'$

$$\left \vert \frac {x_{n}}{y_{n}}-l\right \vert <\varepsilon.$$
3) Доказательство. Пусть $n=n'_0$, где $n'_0$ произвольный номер $\geqslant n_0$ тогда

$$\frac {x_{n+1}}{y_{n+1}}=\frac {x_{n'_0+1}}{y_{n'_0+1}},$$
поэтому

$$\left \vert \frac {x_{n'_0+1}}{y_{n'_0+1}}-l\right \vert <\varepsilon.$$
Пусть теперь $n=n'_0+1$ (это возможно, так как $n\to \infty$), тогда

$$\frac {x_{n}}{y_{n}}=\frac {x_{n'_0+1}}{y_{n'_0+1}}\Rightarrow \left \vert \frac {x_{n}}{y_{n}}-l\right \vert = \left \vert \frac {x_{n'_0+1}}{y_{n'_0+1}}-l\right \vert<\varepsilon.$$
Таким образом, при $n>N'=n_0$

$$\left \vert \frac {x_{n}}{y_{n}}-l\right \vert <\varepsilon,$$
или

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=l,$$
ч.т.д..

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение09.02.2021, 03:02 
Аватара пользователя


16/03/17
475
Vladimir Pliassov
Формально правильно, но неаккуратно и намного длиннее, чем это доказательство заслуживает.
- Обозначения неудачные. $n_0$ и $N'$ это параметры одного типа, поэтому намного логичнее обозначать их похожим образом, например $N$ и $N'$.
- Вводить $\varepsilon_1$ и $n'_0$ было необязательно. Это удлиняет доказательство не добавляя к нему содержательности.
- Хотя и встречаются два разных/эквивалентных определения предела последовательности, в одном из которых $\left \vert f(n)-l\right \vert <\varepsilon$ при $n>N$, а в другом $\left \vert f(n)-l\right \vert <\varepsilon$ при $n\geqslant N$, использовать в одном доказательстве оба определения - это небрежность и плохой тон.

Кстати, а вы представляете себе картинки/образы в голове для новых понятий и теорем? В данном случае могу предложить такой. Значения последовательности $\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}$ "опережают" на одно значение аргумента значения $\frac{x_{n}}{y_{n}}$ (например, первая при $n=4$ принимает такое же значение, как вторая при $n=5$). Поэтому если у первой последовательности все члены достаточно близки к $l$ (отличаются меньше, чем на $\varepsilon$) начиная с $N$, то чтобы такое же было и с членами второй последовательности, соответствующий номер у нее должен быть на 1 больше, чем $N$. Отсюда следует, что $N'=N+1$. Формальное доказательство состоит в аккуратной записи вышесказанного, но его при этом можно сохранить настолько же коротким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вынесение неявного общего множителя. Теорема Штольца. 2
Сообщение10.02.2021, 10:51 


21/04/19
1184
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group