Энтропия аддитивная величина. Если есть система c энтропией
, то её энтропия равна сумме энтропии её частей.
Рассмотрим систему из двух очень близких чёрных дыр массой
При их слиянии, согласно выражению для энтропии чёрной дыры, через массу результирующая энтропия будет больше, чем энтропия каждой чёрной дыры ровно в 2 раза, поскольку масса туда входит в квадрате
.
Откуда взялась лишняя энтропия?
Сразу отмечу, что если считать энтропию для двух разных чёрных дыр приближенных на расстояние предшествующее слиянию по выражению предела Бекенштейна включающем радиус, то скачка энтропии не произойдёт, но в таком случае выходит, что предел Бекенштейна насыщен всегда и это не неравенство, а равенство. При такой формулировке возникает противоположная проблема - если мы рассмотрим две чёрные дыры сближающиеся из бесконечности (в пустой вселенной), то их энтропия будет постоянно падать до минимума наступающего , при слиянии, что уже нарушение второго начала термодинамики.
Вторая часть вопроса. Предположим у нас есть облако газа некоторого размера. Его энтропия рассчитанная по пределу Бекенштейна, если считается, что он насыщается полностью очень велика. Если же сжать его в чёрную дыру, то энтропия газа стала зависеть только от квадрата его массы и по величине теперь не велика, равна энтропии чёрной дыре той же массы. Строго говоря, для сжимающегося под действием собственной гравитации облака газа в пустой вселенной энтропия всё время будет падать сообразно уменьшению радиуса сферы, охватывающей это облако газа. Тут можно предположить, что формула Бекенштейна - неравенство и реальная энтропия изначально ниже, но она настолько низка, что это абсурдно даже в рамках расчёта из числа состояний, в простой термодинамике. Например, энтропия одного килограмма идеального газа, при его сжатии в чёрную дыру равна энтропии чёрной дыры той же массы и равна
Дж/К
Возможно, тут подвох кроется в самом процессе сжатия (для малого количества газа) для которого над газом должна быть совершена работа или в котором (для большого облака) происходит рост температуры и выделяется энергия и излучение в процессе гравитационного коллапса? Кстати, на счёт последнего, то есть излучения. Что бы избежать дополнительных сложностей с его учётом, будем считать, что облако вне зависимости от размеров и природы сжатия окружено идеальным зеркалом, которое исключает любое рассеивание энергии в окружающее пространство.
Итоговые вопросы - откуда берётся лишняя энтропия при слиянии чёрных дыр ? Куда девается энтропия при сжатии газа, если она не может уменьшаться ? Собственные предположения по первому вопросу.
Поскольку энтропия связана с понятием информации и числом состояний, то в случае системы с двумя чёрными дырами, до того момента, как они сливаются присутствует не только их собственная энтропия, но и энтропия, связанная с их взаимным положением друг относительно друга.
С сжатием газа мне непонятно совершенно, единственное, что могу предположить на счёт маленького объёма газа это то, что в процессе сжатия над ним будет совершена настолько большая работа, что итоговая чёрная дыва выйдет куда больше изначально предполагаемой из его массы размера