2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел функции комплексного переменного
Сообщение07.02.2021, 10:36 
Аватара пользователя


10/05/09
234
Лес
Пределы $\lim\limits_{z\to0}\frac{\sin z}{z}=1$, $\lim\limits_{z\to0}\frac{e^{z}-1}{z}=1$ можно доказать, используя разложение $\sin z$ и $e^{z}$ в степенные ряды. А вот предел

$\lim\limits_{z\to\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^z=e$ в книжках не встречал. Выполняется ли данное равенство и для функции комплексного переменного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции комплексного переменного
Сообщение07.02.2021, 10:43 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Выполняется. В задачниках просят доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции комплексного переменного
Сообщение07.02.2021, 14:56 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Ёж в сообщении #1504345 писал(а):
Выполняется ли данное равенство и для функции комплексного переменного?
А как Вы определяете значение выражения $(1+1/z)^z$ при комплексных $z$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции комплексного переменного
Сообщение07.02.2021, 15:01 
Аватара пользователя


10/05/09
234
Лес
nnosipov в сообщении #1504370 писал(а):
Ёж в сообщении #1504345 писал(а):
Выполняется ли данное равенство и для функции комплексного переменного?
А как Вы определяете значение выражения $(1+1/z)^z$ при комплексных $z$?

$
(1+1/z)^z=e^{\operatorname{Ln} (1+1/z)^z}=e^{z\operatorname{Ln} (1+1/z)}
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции комплексного переменного
Сообщение07.02.2021, 15:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
А $\mathrm{Ln}$ что за функция? Как она определяется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции комплексного переменного
Сообщение07.02.2021, 19:30 
Аватара пользователя


10/05/09
234
Лес
nnosipov в сообщении #1504372 писал(а):
А $\operatorname{Ln}$ что за функция? Как она определяется?


$\operatorname{Ln} z=\ln|z|+i(\arg z+2\pi n) \ (n\in \mathbb{Z})$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group