Предел функции комплексного переменного

[Ёж]

Пределы $\lim\limits_{z\to0}\frac{\sin z}{z}=1$, $\lim\limits_{z\to0}\frac{e^{z}-1}{z}=1$ можно доказать, используя разложение $\sin z$ и $e^{z}$ в степенные ряды. А вот предел

$\lim\limits_{z\to\infty}\left(1+\frac{1}{z}\right)^z=e$ в книжках не встречал. Выполняется ли данное равенство и для функции комплексного переменного?

[Otta]

Выполняется. В задачниках просят доказать.

[nnosipov]

Ёж в сообщении #1504345 писал(а):

Выполняется ли данное равенство и для функции комплексного переменного?

А как Вы определяете значение выражения $(1+1/z)^z$ при комплексных $z$?

[Ёж]

nnosipov в сообщении #1504370 писал(а):

Ёж в сообщении #1504345 писал(а):

Выполняется ли данное равенство и для функции комплексного переменного?

А как Вы определяете значение выражения $(1+1/z)^z$ при комплексных $z$?

$ (1+1/z)^z=e^{\operatorname{Ln} (1+1/z)^z}=e^{z\operatorname{Ln} (1+1/z)} $

[nnosipov]

А $\mathrm{Ln}$ что за функция? Как она определяется?

[Ёж]

nnosipov в сообщении #1504372 писал(а):

А $\operatorname{Ln}$ что за функция? Как она определяется?

$\operatorname{Ln} z=\ln|z|+i(\arg z+2\pi n) \ (n\in \mathbb{Z})$