Если интеграл расходится (вариационное исчисление)

[marie-la]

Найти кривую, на которой может достигаться экстремум функционала
$I(y)=\int\limits_{0}^{x_1}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{y}dx, y(0)=0$,
если вторая граничная точка $(x_1,y_1)$ может перемещаться по окружности $(x-9)^2+y^2=9$.

Вопрос такой: я решаю уравнение Эйлера-Лагранжа, подставляю $y(0)=0$ и получаю, что $y=\sqrt{Cx-x^2}$. Подставляя такую функцию в исходный интеграл, получаем, что интеграл ни при каких $C$ не сойдется. Вывод: нет допустимых экстремалей? То есть условие на вторую границную точку не нужно? Правильно? Вопрос возник из-за того, что в учебнике таких задач несколько, с разными условиями на граничную точку.

[lel0lel]

marie-la в сообщении #1504239 писал(а):

получаю, что $y=\sqrt{Cx-x^2}$. Подставляя такую функцию в исходный интеграл, получаем, что интеграл ни при каких $C$ не сойдется.

Действительно, сейчас проверил. Связано это с тем, что $y$ стоит в знаменателе, а стартуем из точки ноль. Числитель же отличен от нуля.

[DeBill]

marie-la
Нда...Экстремали Вашего функционала - это геодезические на плоскости Лобачевского (модель - верхняя полуплоскость). Эти экстремали - дуги окружностей с центром на оси иксов - так что Вы правильно их нашли. Но длина такой геодезической, доходящей до абсолюта, таки равна бесконечности, да.

[lel0lel]

Среди кривых с бесконечной длиной можно выбрать оптимальную (с минимальной длиной), поступая так: положим $y(0)=\varepsilon$, тогда уравнения экстремалей $y^2=-x^2+C x+\varepsilon^2$. Учитывая что конечная точка кривой должна лежать на окружности из условия, получаем, что в пределе $\varepsilon\to 0$ оптимальная кривая определяется $C=8$, а её длина $\ln\left(24/\varepsilon\right)+O(\varepsilon^2)$. Как и должно быть -- логарифмическая расходимость.