В сообщении предлагается к рассмотрению прием, подобный обычному вынесению за скобки общего множителя,
в том числе и на примере небольшого изменения в доказательстве теоремы Штольца из учебника Г.И. Архипова, В.А.Садовничего, В.Н.Чубарикова - "Лекции по математическому анализу"
http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/1/book1_1.pdf стр.43,44.
При этом выражается сомнение в том, что теорема в учебнике в самом деле была доказана.
1.
Возьмем сумму
Разделим ее на
обозначив частное через
:
Отсюда
где
является общим множителем для
, в неявном виде имевшимся в сумме
Пример 1.
Решим уравнение
Проверим:
.
Пример 2.
Решим уравнение
Проверим:
.
Пример 3.
Решим уравнение
Проверим:
.
Пример 4.
Решим уравнение
Проверим:
.
2.
Если
, то
.
Пусть
. Обозначим наименьшее из всех
через
, наибольшее из всех
через
, тогда
или
При этом
не больше наибольшего из
.
3.
Попробуем применить этот прием на следующем примере (Г.И. Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков - "Лекции по математическому анализу"
http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/1/book1_1.pdf стр.43,44).
Пример 5.
Цитата:
Теорема 1 (теорема Штольца). Пусть:
1)
2)
3) существует
Тогда существует предел
Забегая вперед, сразу же скажу, что, как я понимаю, приведенное доказательство теоремы распространяется только на случай конечного предела, потому что в нем имеется выражение
которое при
не может быть справедливым ни при каком конечном
, и не доказывается специально (как у Фихтенгольца) существование бесконечного предела.
Цитата:
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что
где
-- бесконечно малая последовательность. Поэтому для всякого
существует
такое, что при всех
имеем
.
Поскольку
то
или
Считая номер полученного равенства равным
, получим такие же равенства для
и сложим все равенства
получим
Дальше в учебнике следует переход к неравенствам
Цитата:
(здесь не совсем понятно, почему выражения
и
стоят не в скобках, а под знаком модуля, ведь они положительны (на что было обращено внимание читателя двумя строчками выше),
Цитата:
- здесь тоже не совсем понятно, почему
стоит под знаком модуля, ведь
, главное же, что это неравенство не нестрогое, а строгое, так как "при всех
имеем
, перепишем его:
- и к следующему из него третьему неравенству:
Цитата:
Но вместо того, чтобы переходить к первым двум из этих трех неравенств, попытаемся применить прием из п.1.
Возьмем сумму
из равенства
и вынесем за скобку неявный общий множитель разностей, стоящих в скобках:
где
Поскольку
то знаменатель последней дроби не равен нулю, и к тому же, если из
обозначить наименьшее
через
, а наибольшее через
, то
, и
не больше наибольшего из
(см. п.2).
Таким образом,
Разделим это равенство на
получим
Отсюда,
и, так как при всех
имеем
, и потому также
,
Дальше как в учебнике.
Цитата:
Поскольку
то существует такое
, что для всех
(мне кажется, здесь достаточно условия
)
Цитата:
справедлива оценка
Положим
. Тогда для любого
(в учебнике написано "для любого
" но, очевидно, это описка/опечатка, к тому же, как мне кажется, здесь достаточно условия
)
Цитата:
будем иметь
Следовательно, при
имеем
. Теорема 1 доказана.
4.
Тут возникает вопрос, в самом ли деле доказана теорема, ведь, хотя
, но каким бы большим мы ни взяли
, доказано только, что справедливо неравенство
однако из него не следует, что
так как номер
может оказаться для этого недостаточно большим.
Если обозначить
через
, а
через
, то это будет видно еще более ясно:
Должно было быть доказано, что
а доказано только, что
То есть, как я полагаю, теорема доказана, но не теорема Штольца, а другая, более слабая:
Пусть:
1)
2)
3) существует
Тогда существует предел
Или я ошибаюсь?