Сундуки и монеты

[Vladimir-80]

kotenok gav в сообщении #1502671 писал(а):

Но равны ли вероятности выбора соответствующих сундуков?

Нас не интересует вероятность выбора первого или третьего сундука. Это всё в прошлом, это всё было до постановки задачи. На момент постановки задачи этот выбор уже сделан, у нас в руке уже лежит золотая монета, перед нами единственный безальтернативный сундук, в котором лежит ещё одна монета, и она либо золотая, либо серебряная. Третьего не дано.

[Mihr]

Уже третью страницу обсуждается простая задача. Позвольте, я изложу ситуацию ещё с одной точки зрения (может быть, вопрос, наконец, закроется). Забудем вообще про сундуки с одними серебряными монетами: они сейчас неинтересны. Есть только два сундука: в одном две золотые монеты, в другом - золотая и серебряная. Нам ничего не известно о расположении монет. Поэтому и номер сундука никакой роли не играет. Мысленно объединим два сундука в один "суперсундук". В этом "суперсундуке" четыре монеты, из них три золотых. Но вот одна золотая монета вынута. Осталось три монеты, из них две золотых. Про их расположение по-прежнему ничего не известно! Значит, шансов вытянуть золото - два из трёх. А на языке математики - вероятность вынуть золотую монету равна две третьих. Неужели здесь могут быть сомнения?

[Vladimir-80]

Mihr в сообщении #1502677 писал(а):

Мысленно объединим два сундука в один "суперсундук".

Это изменит условия задачи. В изначальном условии никакого суперсундука нет. Перед нами конкретный сундук с одной монетой внутри.

[mihaild]

Vladimir-80 в сообщении #1502668 писал(а):

И не важно, наугад ли, или с подсказкой. На старте уже есть золотая монета в руках.

Что это значит, и почему вы думаете, что неважно?
И можете ли вы четко описать, вероятность чего именно $\frac{1}{2}$ - как проводим эксперимент, какие события попадают в числитель, какие в знаменатель?

[Mihr]

Vladimir-80
это никак не изменит условия задачи. Вы не заметили слово "мысленно"?

Mihr в сообщении #1502677 писал(а):

Мысленно объединим два сундука в один "суперсундук".

Физически сундуки остаются сундуками. Что поменялось от того, что мы их просто рассматриваем как нечто единое?

[Vladimir-80]

mihaild в сообщении #1502679 писал(а):

как проводим эксперимент

Я эту задачу вижу так. Передо мной три сундука, мне рассказали, как они были наполнены. Мне дали золотую монету и показали на сундук, из которого её вынули. Мне предлагают определить вероятность того, что оставшаяся в этом сундуке монета окажется золотой.

[Mihr]

Вот, сделал рисунок. Крестик означает пустое место - отсюда монета вынута. Оставите ли вы перегородку, разделяющую сундуки, уберёте ли её мысленно, или даже физически уберёте - ровно ничего не поменяется. В двух случаях из трёх монета, оставшаяся в первом сундуке, - золотая.

[kotenok gav]

Vladimir-80 в сообщении #1502674 писал(а):

Нас не интересует вероятность выбора первого или третьего сундука. Это всё в прошлом, это всё было до постановки задачи.

Вы неправы, и это ключевой факт в вашем непонимании.

-- 26 янв 2021, 01:10 --

Mihr, ваш рисунок не совсем понятен в последних двух ситуациях. Понятнее становится, если заменить вашу последнюю третью ситуацию на "З Х С З".

[Mihr]

kotenok gav, не вижу, что здесь непонятного. Четыре монеты выложены в ряд слева направо. Серебряная может лежать на любом месте. Берём по порядку слева направо (это никак не отражается на вероятностях). Первую монету взяли, она оказалась золотой. Значит, серебро (черный кружок) лежит на 2-м, 3-м или 4-м месте. В двух случаях из трех во второй позиции оказывается золото.

[kotenok gav]

Mihr в сообщении #1502695 писал(а):

kotenok gav, не вижу, что здесь непонятного.

Так просто будет понятнее, ИМХО. Но наставивать не буду.

[arseniiv]

Vladimir-80
Из-за того что мы отбросили альтернативу «мы достали из сундука, где есть золотая монета, серебряную монету», вероятности того, какой сундук мы открыли изначально, становятся неравными. И вообще вы не предложили, в чём по-вашему ошибки в решениях, дающих $2/3$. А то получится, что вы не против и своего, и других решений, вместе дающих ответы, противоречащие друг другу. Это уж точно должно быть признаком того, что что-то пошло не так.

[Vladimir-80]

arseniiv в сообщении #1502724 писал(а):

в чём по-вашему ошибки в решениях, дающих $2/3$

Да нет, всё верно. Вероятность вытащить две золотых подряд - $1/3$. Вероятность вытащить золотую, а потом серебряную - $1/6$. То, что мы вытащили первой золотую, говорит о том, что с вероятностью 2 к 1 мы выбрали сундук с двумя золотыми - и тогда ответ $2/3$ будет верным. Что-то я затупил слегка.

[Dendr]

Mihr в сообщении #1502677 писал(а):

Уже третью страницу обсуждается простая задача. Позвольте, я изложу ситуацию ещё с одной точки зрения (может быть, вопрос, наконец, закроется).

Чтобы совсем закрыть, надо рассмотреть многомировую интерпретацию тервера. Так, чтобы в процессе рассуждений без слова "вероятность" вообще.

Пусть есть множество вселенных (ну, давайте 6 миллионов, что ли), в которых мы проделываем этот эксперимент. В каждой вселенной мы абсолютно (идеально) случайно выбираем сундук из троех. Поэтому какой-то сундук (пусть у них, для определенности, разноцветные наклейки на дне, но мы не узнаем, какой выбрали, пока не придвинем его к себе) мы выберем ровно в одной трети вселенных.
Значит, в 2 миллионах вселенных мы возьмем сундук с двумя золотыми монетами, в 2 миллионах - с двумя серебрянными и в 2 миллионах - с двумя разными.
Вытягивая, опять вслепую, одну из монет из сундука в первых двух случаях мы добудем либо гарантированно золотую, либо гарантированно серебряную. Даже не нужно ярлычки клеить - и так понятно.
В третьем случае (напоминаю, что мы пока не знаем, в какой именно вселенной находимся) ровно в половине случаев достаем золотую, ровно в половине - серебряную.
Следовательно, золотую мы достаем ровно в трех миллионах вселенных из шести миллионов.
Ну и все, до ответа недалеко.

Вот мы берем сундук, достаем монету, она золотая. Значит, мы находимся именно в одной из этих самых трех миллионов вселенных. Но в какой именно разновидности? А, ну тут просто. Ведь в двух миллионах из этих вселенных в "нашем" сундуке осталась бы лежать золотая монета , в одном миллионе - серебряная. То есть шансы на то, что там золотая в два раза выше, чем на то, что серебряная. А раз сказано "шанс", то пора и вероятности считать. Хотя что там считать? Аккурат 2/3.

[arseniiv]

Dendr в сообщении #1503701 писал(а):

Чтобы совсем закрыть, надо рассмотреть многомировую интерпретацию тервера.

А такая (точно аналогичная другой известной многомировой интерпретации) разве есть? Вот в многомировой интерпретации квантовой механики как раз проблемы с введением вероятностей, так что гипотетическая многомировая интерпретация тервера должна быть штукой, весьма странной относительно полезности.

Вообще на самом деле «миры» для теории вероятностей — это как раз элементарные исходы, но их количество как правило не важно, а важна сигма-алгебра событий, которые можно понимать как «пучки миров», доступные нашему анализу. (Но когда алгебра атомная и мера каждого атома ненулевая, мы можем перейти к рассмотрению конкретно случайных исходов, взяв пространство, где каждый атом состоит из ровно одного исхода, и это будет всеми любимое конечное вероятностное пространство. Как и в случае этой задачи, где я расписал всё в терминах отдельных исходов ещё на первой странице.)

Но как-то не видно, чтобы это давало что-то новое человеческому воображению, чтобы лучше понимать?.. Особенно когда связь с вероятностью — в вашем аргументе — сначала прерывается, а потом восстанавливается, и в общем случае это даст ерунду. На деле аргумент спасает то, что вы неявно предположили миры равновероятными и этим неявно пользовались всё время. Что аргумент не спасает — так то, что условные шесть миллионов миров совершенно избыточны, достаточно шести событий, которые мы дальше не растаскиваем на части и потому совершенно спокойно можем выбрать шесть миров (случайных исходов), что уже и было давно сделано. Если какому-то читателю темы будет неясно, что случайные исходы это миры, ну, это и стоило пояснять, а не выдумывать велосипед.