Предельный переход между функциями

[iifat]

iifat в сообщении #1503455 писал(а):

функция стремится к

Виноват. Действительно, простейшее определение — поточечная сходимость.

misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):

на графике наблюдаются осцилляции

Какого именно рода осцилляции? Из вашей формулы (после домножения на сопряжённое) видно, что функция будет монотонно убывать в обе стороны от нуля. Где-то быстрее, где-то медленнее, но никаких осцилляций (многочисленных изменений знака производной) как-то не усматриваю.
Что же касается самих функций, первообразных. Ну, вообще поточечная сходимость функций — штука многомудрая, подобно условной сходимости рядов. Ну, вот возьмите хотя бы $f_a(x)=\left\lbrace\begin{array}{l}0,x\le a\\1,x>a\end{array}\right.$. Куда она поточечно стремится при $a\to\infty$? И как будут смотреться графики? А если проинтегрировать?

[amon]

misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):

то выходит, что $g(x)$ стремится к $f(x)$

Что-то мне кажется что $g(x)$ ни за какие коврижки не будет стремиться к $f(x),$ поскольку $f(0)=\infty,$ а $g(0),$ понимаемая как $\int\limits_{a}^{0}\sqrt{1+a^2x^4}dx,$ - конечная константа.

[ewert]

misha.physics в сообщении #1503486 писал(а):

$$\lim\limits_{a\to+\infty}(a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4})=-\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{a^2}{a^2x^2+a\sqrt{1+a^2x^4}}=-\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{\frac{1}{a^2}+x^4}}=-\frac{1}{2x^2}$$

В принципе верно (если не считать бессмысленности последнего равенства). Только напрасно Вы сократили на $a^2$, надо было просто на $a$. Тогда очевидно, что $\frac{a^2x^3}3-a\int\limits_0^x\sqrt{1+a^2t^4}\,dt=\sqrt{a}F(x\sqrt{a})$, где $F(y)=-\int\limits_0^y\frac{ds}{s^2+\sqrt{1+s^4}}=-A+\frac1{2y}+O(\frac1{y^3})$ при $y\to\infty$.

Т.е. Ваша исходная разность описывается как $-A\sqrt{a}+\frac1{2x}+O(\frac1{ax^3})$, где $A=\int\limits_0^{+\infty}\frac{ds}{s^2+\sqrt{1+s^4}}$ -- некоторая вполне определённая константа. Т.е. эта разность действительно мало отличается от $\frac1{2x}$, но лишь, во-первых, при $a\to0$ и, во-вторых, при $x\gg\frac1{\sqrt[3]{a}}$.

[misha.physics]

Otta в сообщении #1503487 писал(а):

Потому если уж нужно сходимость там исследовать, то нужно писать интеграл с переменным верхним (нижним) пределом в качестве первообразной.

Да, у меня уже тоже начали возникать идеи написать интеграл с переменным пределом, выбрать константу и численно проинтегрировать. Но пока мне нужно об этом ещё подумать.

iifat в сообщении #1503490 писал(а):

Какого именно рода осцилляции?

Вот графики. Какие-то артефакты присутствуют для функции $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$ и в Mathematica и в gnuplot для очень больших $x$. Здесь взял $a=10$. Возможно это связано с численными вычислениями, не знаю, но эти колебания растут с ростом $a$.

(Графики)

iifat в сообщении #1503490 писал(а):

Ну, вот возьмите хотя бы $f_a(x)=\left\lbrace\begin{array}{l}0,x\le a\\1,x>a\end{array}\right.$. Куда она поточечно стремится при $a\to\infty$? И как будут смотреться графики? А если проинтегрировать?

Размышляю так: графиком для самой функции будет ступенька, при $a\to+\infty$ она будет передвигаться вправо. Поточечно значение функции будет стремиться к $0$. Если построить график первообразной, то в пределе она будет иметь вид ламаной, тоже перемещающейся вправо при $a\to+\infty$. Поточечно значение первообразной будет стремиться к константе.

amon в сообщении #1503526 писал(а):

$g(0),$ понимаемая как $\int\limits_{a}^{0}\sqrt{1+a^2x^4}dx,$ - конечная константа.

У вас $a$ в нижнем пределе и $a$ под корнем это то же самое "$a$"?

ewert в сообщении #1503538 писал(а):

Т.е. эта разность действительно мало отличается от $\frac1{2x}$, но лишь, во-первых, при $a\to0$ и, во-вторых, при $x\gg\frac1{\sqrt[3]{a}}$.

О, у меня как раз и получалось, что при $a\to0$ функция $g(x)$ стремиться к $f(x)$, начиная с некоторых $x$, да. Значит никакой выбор константы здесь не сделает так, что $g(x)$ будет стремиться к $f(x)$ не при $a\to0$, а при $a\to+\infty$? Значит здесь нет никакого противоречия, что для функций стремление будет при $a\to0$, а для их производных при $a\to+\infty$? Я просто думал, что должно быть одинаково для параметра $a$...

А почему нельзя сделать так?:

$$\lim\limits_{a\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{a\to+\infty}\left(\frac{a^2x^3}{3}-a\int\sqrt{1+a^2x^4}dx\right)=\lim\limits_{a\to+\infty}\left(\frac{a^2x^3}{3}-\int a^2x^2\sqrt{1+\frac{1}{a^2x^4}}dx\right)=$$

$$=\lim\limits_{a\to+\infty}\left(\frac{a^2x^3}{3}-\int a^2x^2\left[1+\frac{1}{2a^2x^4}\right]dx\right)=...=\frac{1}{2x}=f(x)$$

То есть, разложить корень под интегралом, считая $a$ большим? В этом случае функции сходяться при $a\to+\infty$, а в ваших выкладках, которые как раз и согласуются с графиком, при $a\to0$? Такая контрастность меня и сбивает с толку.

[amon]

misha.physics в сообщении #1503561 писал(а):

У вас $a$ в нижнем пределе и $a$ под корнем это то же самое "$a$"?

Виноват, рука дрогнула. Должна быть любая другая буква. А вообще,
заменой $\sqrt{a}x=u$ (под интегралом - аналогичная замена переменной интегрирования) получим

$$g(u)= \sqrt{a}\left(u^3-\int\limits_{0}^{u}\sqrt{1+v^4}\,dv+\operatorname{const}\right).$$

Отсюда левой ногой можно получать различные свойства $g(x).$

[iifat]

misha.physics в сообщении #1503561 писал(а):

Вот графики

Жуть какая. Вы посмотрите на функцию-то, посмотрите, после домножения на сопряжённое. При всех возможных изгибах — монотонное убывание с ростом $x$ же ж!. Скорее, последствия вычитания близких больших чисел. Для интереса, возьмите дробь и постройте график в той же Математике.

misha.physics в сообщении #1503561 писал(а):

Размышляю так

Верно размышляете. Ну так что там касательно сходства промеж функцией и поточечным пределом?

-- 01.02.2021, 07:28 --

iifat в сообщении #1503610 писал(а):

монотонное убывание с ростом $x$

Виноват, про минус перед дробью забыл. Возрастание, конечно.

[misha.physics]

iifat в сообщении #1503610 писал(а):

Для интереса, возьмите дробь и постройте график в той же Математике.

А какую дробь?

iifat в сообщении #1503610 писал(а):

Ну так что там касательно сходства промеж функцией и поточечным пределом?

В контексте вашего примера с кусочной функцией или вообще? Если брать ваш пример, то я так понимаю, функция это $f(x)=0$, а поточечный предел для $f_a(x)$ при $a\to+\infty$ будет тоже $0$. Или я не понял вопроса.

-- 01 фев 2021, 00:12 --

iifat в сообщении #1503610 писал(а):

Скорее, последствия вычитания близких больших чисел.

Наверное, так как отдельно графики уменьшаемой и вычитаемой функций ведут себя нормально.

[misha.physics]

misha.physics в сообщении #1503620 писал(а):

А какую дробь?

Ой, уже понял какую. Построил, ведет себя нормально, монотонно.

[Otta]

Ну и я еще две копейки.
Выше проверено, что $g'(x,a)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$ сходится поточечно при $x>0$ и $a\to +\infty$ к $f'(x)=-\dfrac{1}{2x^2}$.
Аналогично можно показать, что вне окрестности нуля есть равномерная сходимость того же семейства (туда же, само собой).

Тогда $g(x,a)=\int_{x_0}^x\{a^2t^2-a\sqrt{1+a^2t^4}\}\, dt = \dfrac{a^2}{3}({x^3-x_0^3})-a\int_{x_0}^x\sqrt{1+a^2t^4}\, dt$ равномерно (на том же множестве) сходится к $f(x)=\dfrac 12\left(\dfrac 1x-\dfrac 1{x_0}\right)$, здесь $x_0$ -- произвольное положительное число.

Т.о., многое зависит от постановки задачи: если в исходной записи $G(x,a)=\dfrac{a^2}{3}x^3-a\int \sqrt{1+a^2t^4}\, dt$ константа в неопределенном интеграле не зависела от $a$, то в фиксированной точке $x>0$ функция $G(x,a)$ ведет себя на бесконечности как $a^2$. (с точностью до множителя)

В такой постановке предел равен бесконечности. В общем, как задачу поставишь, так и полетишь.

[misha.physics]

Otta в сообщении #1503648 писал(а):

Ну и я еще две копейки.

Это как раз самое главное, что меня ещё беспокоит и хочется разобратся.

Otta в сообщении #1503648 писал(а):

Аналогично можно показать, что вне окрестности нуля есть равномерная сходимость того же семейства (туда же, само собой).

Здесь под семейством вы понимаете интеграл, то есть функцию $g(x,a)$? Я не совсем понял.

Otta в сообщении #1503648 писал(а):

$= \dfrac{a^2}{3}\dfrac{x^3-x_0^3}3-$

Здесь одна тройка в знаменателе лишняя, да?

[Otta]

misha.physics в сообщении #1503715 писал(а):

Здесь одна тройка в знаменателе лишняя, да?

Да, конечно. Убрала.

misha.physics в сообщении #1503715 писал(а):

Здесь под семейством вы понимаете интеграл, то есть функцию $g(x,a)$? Я не совсем понял.

Под семейством обычно подразумевается нечто, зависящее от параметра. Ну если бы было вместо $a$ натуральное число $n$, мы бы это множество функций назвали последовательностью (функций). А так - семейство.

[misha.physics]

Otta,
А, я просто сначала подумал о семействе, как о множестве первообразных.

Otta в сообщении #1503648 писал(а):

Тогда $g(x,a)=\int_{x_0}^x\{a^2t^2-a\sqrt{1+a^2t^4}\}\, dt = \dfrac{a^2}{3}({x^3-x_0^3})-a\int_{x_0}^x\sqrt{1+a^2t^4}\, dt$ равномерно (на том же множестве) сходится к $f(x)=\dfrac 12\left(\dfrac 1x-\dfrac 1{x_0}\right)$, здесь $x_0$ -- произвольное положительное число.

Спасибо большое. Моей большой ошибкой было писать интеграл без пределов (ну теперь я точно буду с этим более аккуратен). Я ещё заметил, что эта сходимость тем лучше, чем больше $x_0$. То есть сходимость усиливается, если кроме $a\to+\infty$ потребовать ещё $x_0\to+\infty$.

[Otta]

misha.physics в сообщении #1503792 писал(а):

То есть сходимость усиливается, если кроме $a\to+\infty$ потребовать ещё $x_0\to+\infty$

Не, это уже будет перебор ) слишком много предельных переходов, это отдельная задача. Другое дело, что при больших $x_0$ скорость сходимости действительно больше (если понимать его так, как Mathematica), но это и логично, и показать легко, вот только не надо его никуда стремить. Хочется взять большим - берите, но фиксированным. Для предельных переходов снова понадобятся обоснования. Это уже будет, повторюсь, другая задача.

[misha.physics]

Otta в сообщении #1503798 писал(а):

Хочется взять большим - берите, но фиксированным.

Да, конечно, беру конечным.
Я уже успел опробовать ваше равенство

Otta в сообщении #1503648 писал(а):

$g(x,a)=\int_{x_0}^x\{a^2t^2-a\sqrt{1+a^2t^4}\}\, dt = \dfrac{a^2}{3}({x^3-x_0^3})-a\int_{x_0}^x\sqrt{1+a^2t^4}\, dt$ равномерно (на том же множестве) сходится к $f(x)=\dfrac 12\left(\dfrac 1x-\dfrac 1{x_0}\right)$

на графике, правда для его построения пришлось интегрировать численно, так как Mathematica при вычитании значений первообразных выдает какие-то разрывы на графике, но это не так важно.

Ещё мне очень интересно самому получить это равенство, можете подсказать с чего начать?

[Otta]

misha.physics в сообщении #1503801 писал(а):

Ещё мне очень интересно самому получить это равенство, можете подсказать с чего начать?

Какое равенство? Выражение для $g$?