2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Предельный переход между функциями
Сообщение30.01.2021, 19:21 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Здравствуйте. Время от времени у меня возникают математические "парадоксы". Сейчас думаю над следующим.
Есть две функции $f(x)=\frac{1}{2x}$ и $g(x)=\frac{a^2x^3}{3}-a\int\sqrt{1+a^2x^4}dx$. Во второй функции под интегралом будем понимать первообразную, величина $a$ это параметр. Далее, есть производные этих функций $f'(x)=-\frac{1}{2x^2}$ и $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$.
Пусть $a\to+\infty$, тогда заменим корень $\sqrt{1+a^2x^4}=ax^2\sqrt{1+\frac{1}{a^2x^4}}\approx ax^2\left(1+\frac{1}{2a^2x^4}\right)=ax^2+\frac{1}{2ax^2}$.
Тогда $g'(x)$ стремиться к $f'(x)$ при $a\to+\infty$. Делее, если подставить выражения для корня под интеграл и проинтегрировать, то $g(x)$ будет стремиться к $f(x)$ при $a\to+\infty$.
Но, если в Mathematica ввести интеграл $\int\sqrt{1+a^2x^4}dx$ и получить первообразную через эллиптический интеграл первого рода, а потом построить графики функций $f(x)$ и $g(x)$ при различных значениях параметра $a$, то виходит, что $g(x)$ стремится к $f(x)$ при меньшем значении $a$, а при большем наоборот больше отходит от функции $f(x)$. Это первое непонятное место.

И ещё, если построить график, например, $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$, то на графике наблюдаются осцилляции, тем больше, чем больше параметр $a$. Второе непонятное место.

Также я видел что-то о связи между эллиптическим интегралом и гипергеометрической функцией, как думаете, может лучше с ней работать, или в данном примере это ничего не изменит?

Не знал, нужно ли приводить здесь код в Mathematica и графики, если это окажется нужным, то приведу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение30.01.2021, 22:05 
Заслуженный участник


16/02/13
4195
Владивосток
Во-первых, что есть такое — параметризованная функция стремится к непараметризованной при стремлении параметра? Не могли б вы привести определение?
Во-вторых, с какого б рожна одна из этих функций стремилась к другой в любом мыслимом смысле?
Наконец, функции определены на всей (ну, почти на всей) числовой оси. Вы действительно визуально сравнили графики на $]-\infty;\infty[$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение30.01.2021, 22:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
iifat в сообщении #1503455 писал(а):
Во-первых, что есть такое

Ну даже если поточечно при каждом фиксированном $x$.
misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):
этих функций $f'(x)=-\frac{1}{2x^2}$ и $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$.
Пусть $a\to+\infty$, тогда заменим корень $\sqrt{1+a^2x^4}=ax^2\sqrt{1+\frac{1}{a^2x^4}}\approx ax^2\left(1+\frac{1}{2a^2x^4}\right)=ax^2+\frac{1}{2ax^2}$.
Тогда $g'(x)$ стремиться к $f'(x)$ при $a\to+\infty$.

С чего бы вдруг оно стремится? Тут какой-то глюк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение30.01.2021, 23:43 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
iifat в сообщении #1503455 писал(а):
Во-первых, что есть такое — параметризованная функция стремится к непараметризованной при стремлении параметра? Не могли б вы привести определение?

Otta в сообщении #1503458 писал(а):
С чего бы вдруг оно стремится?

Возьмем сначала $f'(x)=-\frac{1}{2x^2}$ и $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$. При $a\to+\infty$ преобразуем корень к $\sqrt{1+a^2x^4}\approx ax^2+\frac{1}{2ax^2}$. Подставим его в $g'(x)$, тогда $g'(x)=-\frac{1}{2x^2}=f'(x)$, я в этом смысле понимаю, что $g'(x)$ стремиться к $f'(x)$, не знаю как тут дать строгое определение. А параметр $a$ здесь в ходе подстановке сокращается.
iifat в сообщении #1503455 писал(а):
Вы действительно визуально сравнили графики на $]-\infty;\infty[$?

Нет, только для положительных небольших $x$. Функция $g(x)$ стремиться к $f(x)$ с ростом $x$ при разных значениях параметра $a$, но для меньших значений $a$ это визуальное стремление лучше (начинается с меньших значений $x$). И у меня возник логичный вопрос, для самых функций стремление лучше для малых $a$, а для их производных - для больших $a$, нет ли здесь противоречия?

-- 30 янв 2021, 22:45 --

Да, под стремлением одной функции к другой, я имел ввиду - поточечно. Просто сравнивая их графики, построенные в одной системе координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение30.01.2021, 23:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
misha.physics
Если Вы хотите показать, что что-то куда-то стремится, не надо ничего никуда подставлять. Действие "подставим нечто в предельную функцию" несколько бессмысленно.
Просто перейдите к пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 00:23 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Я думал, что я как раз переходил к пределу, когда раскладывал корень. Меня в принципе только этот факт и смущает:
misha.physics в сообщении #1503465 писал(а):
для самых функций стремление лучше для малых $a$, а для их производных - для больших $a$, нет ли здесь противоречия?

Или так и не обязательно должно быть? Все-таки там функция, а там производная. И ещё у нас есть аргумент $x$ и в переходе
misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):
$\sqrt{1+a^2x^4}=ax^2\sqrt{1+\frac{1}{a^2x^4}}\approx ax^2\left(1+\frac{1}{2a^2x^4}\right)=ax^2+\frac{1}{2ax^2}$

величину $\frac{1}{a^2x^4}$ нельзя считать малой при больших $a$, но малых $x$. Но и при малых $a$ тем более. А различие между $f(x)$ и $g(x)$ как раз и происходит для малых $x$, но при малых $a$ это различие меньше.
А для функции
misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):
$g(x)=\frac{a^2x^3}{3}-a\int\sqrt{1+a^2x^4}dx$

как выполнить предельный переход? Я сделал это под знаком интеграла для корня так само, как и для $g'(x)$ и получил, что $g(x)$ переходит в $f(x)$ при большом $a$. Или нужно брать то выражение з эллиптическим интегралом, которое выдает Mathematica и анализировать его?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 00:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
misha.physics
Вы пишете $f'(x,a)$, но почему-то не полностью. Корень-то корнем, Вы полностью его запишите и перейдите к пределу. Не получится там $g'(x)$.

А про первообразные - я не очень поняла, чего же Вы хотите на самом деле.

-- 31.01.2021, 02:36 --

misha.physics в сообщении #1503470 писал(а):
величину $\frac{1}{a^2x^4}$ нельзя считать малой при больших $a$, но малых $x$.

Судя по вот этому фрагменту, у Вас именно с переходом к пределу и проблемы.
Поточечная сходимость - $x$ фиксировано. Константа. Нету никаких малых и больших. Возьмите какое-то конкретное, если путаетесь. И стремим $a$ куда хотели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 01:00 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Спасибо. Проверил предел для $g'(x)$ в WolframAlpha. Выходит $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2-\frac{1}{2x^2}$. А если взять фиксированное $x$, то считает предел по формуле $-\frac{1}{2x^2}$. Но теперь понятно, почему у меня графики для $f'(x)$ и $g'(x)$ визуально близки, там параметр $a$ берется хоть и большим, но не бесконечным и первый член в пределе, т.е. $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2$ пропадает и остается $-\frac{1}{2x^2}$ и он близок к функции $f'(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 01:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
misha.physics в сообщении #1503475 писал(а):
Выходит $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2-\frac{1}{2x^2}$.

Это что Вы считали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 01:26 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Это я взял вот это разложение снизу (первые два члена):

(Скрин)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 01:42 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
misha.physics
А корень извлечь и написать ноль в пределе Вам не захотелось? Оно ж ответ Вам выдало.
И у Вас безо всякого вольфрама все было посчитано, оставалось только собрать, вычесть, перейти к пределу. К чему я Вас и призывала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 01:54 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Otta,
я все ещё не совсем понял, оно выдало в качестве результата $0\infty$. Но ниже есть ещё член $-\frac{1}{2x^2}$, отсутствующий в пункте "Result". А сам с пределом я боялся ошибиться я даже не понял, что осталось собрать и вычесть... Но значит предел все-таки будет $-\frac{1}{2x^2}$, ведь выражение $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2$ дает ведь ноль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 02:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
misha.physics
misha.physics в сообщении #1503482 писал(а):
я все ещё не совсем понял, оно выдало в качестве результата $0\infty$.

Потому что Вольфрам по умолчанию смотрит на это все как на комплексные числа. А у корня не одна ветвь.

У Вас там $a$ перед корнем, а я его не заметила:( Вот просила же собрать все Ваши выкладки воедино, с этими кусками ничего не разобрать.

Не, для выражения с $a$ перед корнем будет таки $-1/(2x^2)$ в пределе. Считайте вручную, Вольфрам Вас только путает.
На первом курсе такие пределы учат домножением на сопряженное считать )) Но можно и Вашим способом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 03:57 
Аватара пользователя


17/03/17
683
Львів
Otta в сообщении #1503483 писал(а):
Вот просила же собрать все Ваши выкладки воедино, с этими кусками ничего не разобрать.

Ой, теперь понял.
Otta в сообщении #1503483 писал(а):
На первом курсе такие пределы учат домножением на сопряженное считать ))

$$\lim\limits_{a\to+\infty}(a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4})=-\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{a^2}{a^2x^2+a\sqrt{1+a^2x^4}}=-\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{\frac{1}{a^2}+x^4}}=-\frac{1}{2x^2}$$
Спасибо за подсказку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предельный переход между функциями
Сообщение31.01.2021, 04:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
misha.physics
Не за что. Но как я понимаю, исходная Ваша задача была не в этом. А понять, есть ли сходимость у функций, которые Вы в итоге продифференцировали.
Там сразу же плохая постановка. Первообразных - семейство, и какую "плюс константу" выдаст тот интеграл - никто не знает ) любую, ващет.

Потому если уж нужно сходимость там исследовать, то нужно писать интеграл с переменным верхним (нижним) пределом в качестве первообразной. Будет ли там поточечная сходимость - это совершенно отдельная задача, в решении которой только лишь поточечная сходимость производных ничем не помогает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group