Предельный переход между функциями

[misha.physics]

Здравствуйте. Время от времени у меня возникают математические "парадоксы". Сейчас думаю над следующим.
Есть две функции $f(x)=\frac{1}{2x}$ и $g(x)=\frac{a^2x^3}{3}-a\int\sqrt{1+a^2x^4}dx$. Во второй функции под интегралом будем понимать первообразную, величина $a$ это параметр. Далее, есть производные этих функций $f'(x)=-\frac{1}{2x^2}$ и $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$.
Пусть $a\to+\infty$, тогда заменим корень $\sqrt{1+a^2x^4}=ax^2\sqrt{1+\frac{1}{a^2x^4}}\approx ax^2\left(1+\frac{1}{2a^2x^4}\right)=ax^2+\frac{1}{2ax^2}$.
Тогда $g'(x)$ стремиться к $f'(x)$ при $a\to+\infty$. Делее, если подставить выражения для корня под интеграл и проинтегрировать, то $g(x)$ будет стремиться к $f(x)$ при $a\to+\infty$.
Но, если в Mathematica ввести интеграл $\int\sqrt{1+a^2x^4}dx$ и получить первообразную через эллиптический интеграл первого рода, а потом построить графики функций $f(x)$ и $g(x)$ при различных значениях параметра $a$, то виходит, что $g(x)$ стремится к $f(x)$ при меньшем значении $a$, а при большем наоборот больше отходит от функции $f(x)$. Это первое непонятное место.

И ещё, если построить график, например, $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$, то на графике наблюдаются осцилляции, тем больше, чем больше параметр $a$. Второе непонятное место.

Также я видел что-то о связи между эллиптическим интегралом и гипергеометрической функцией, как думаете, может лучше с ней работать, или в данном примере это ничего не изменит?

Не знал, нужно ли приводить здесь код в Mathematica и графики, если это окажется нужным, то приведу.

[iifat]

Во-первых, что есть такое — параметризованная функция стремится к непараметризованной при стремлении параметра? Не могли б вы привести определение?
Во-вторых, с какого б рожна одна из этих функций стремилась к другой в любом мыслимом смысле?
Наконец, функции определены на всей (ну, почти на всей) числовой оси. Вы действительно визуально сравнили графики на $]-\infty;\infty[$?

[Otta]

iifat в сообщении #1503455 писал(а):

Во-первых, что есть такое

Ну даже если поточечно при каждом фиксированном $x$.

misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):

этих функций $f'(x)=-\frac{1}{2x^2}$ и $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$.
Пусть $a\to+\infty$, тогда заменим корень $\sqrt{1+a^2x^4}=ax^2\sqrt{1+\frac{1}{a^2x^4}}\approx ax^2\left(1+\frac{1}{2a^2x^4}\right)=ax^2+\frac{1}{2ax^2}$.
Тогда $g'(x)$ стремиться к $f'(x)$ при $a\to+\infty$.

С чего бы вдруг оно стремится? Тут какой-то глюк.

[misha.physics]

iifat в сообщении #1503455 писал(а):

Во-первых, что есть такое — параметризованная функция стремится к непараметризованной при стремлении параметра? Не могли б вы привести определение?

Otta в сообщении #1503458 писал(а):

С чего бы вдруг оно стремится?

Возьмем сначала $f'(x)=-\frac{1}{2x^2}$ и $g'(x)=a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4}$. При $a\to+\infty$ преобразуем корень к $\sqrt{1+a^2x^4}\approx ax^2+\frac{1}{2ax^2}$. Подставим его в $g'(x)$, тогда $g'(x)=-\frac{1}{2x^2}=f'(x)$, я в этом смысле понимаю, что $g'(x)$ стремиться к $f'(x)$, не знаю как тут дать строгое определение. А параметр $a$ здесь в ходе подстановке сокращается.

iifat в сообщении #1503455 писал(а):

Вы действительно визуально сравнили графики на $]-\infty;\infty[$?

Нет, только для положительных небольших $x$. Функция $g(x)$ стремиться к $f(x)$ с ростом $x$ при разных значениях параметра $a$, но для меньших значений $a$ это визуальное стремление лучше (начинается с меньших значений $x$). И у меня возник логичный вопрос, для самых функций стремление лучше для малых $a$, а для их производных - для больших $a$, нет ли здесь противоречия?

-- 30 янв 2021, 22:45 --

Да, под стремлением одной функции к другой, я имел ввиду - поточечно. Просто сравнивая их графики, построенные в одной системе координат.

[Otta]

misha.physics
Если Вы хотите показать, что что-то куда-то стремится, не надо ничего никуда подставлять. Действие "подставим нечто в предельную функцию" несколько бессмысленно.
Просто перейдите к пределу.

[misha.physics]

Я думал, что я как раз переходил к пределу, когда раскладывал корень. Меня в принципе только этот факт и смущает:

misha.physics в сообщении #1503465 писал(а):

для самых функций стремление лучше для малых $a$, а для их производных - для больших $a$, нет ли здесь противоречия?

Или так и не обязательно должно быть? Все-таки там функция, а там производная. И ещё у нас есть аргумент $x$ и в переходе

misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):

$\sqrt{1+a^2x^4}=ax^2\sqrt{1+\frac{1}{a^2x^4}}\approx ax^2\left(1+\frac{1}{2a^2x^4}\right)=ax^2+\frac{1}{2ax^2}$

величину $\frac{1}{a^2x^4}$ нельзя считать малой при больших $a$, но малых $x$. Но и при малых $a$ тем более. А различие между $f(x)$ и $g(x)$ как раз и происходит для малых $x$, но при малых $a$ это различие меньше.
А для функции

misha.physics в сообщении #1503421 писал(а):

$g(x)=\frac{a^2x^3}{3}-a\int\sqrt{1+a^2x^4}dx$

как выполнить предельный переход? Я сделал это под знаком интеграла для корня так само, как и для $g'(x)$ и получил, что $g(x)$ переходит в $f(x)$ при большом $a$. Или нужно брать то выражение з эллиптическим интегралом, которое выдает Mathematica и анализировать его?

[Otta]

misha.physics
Вы пишете $f'(x,a)$, но почему-то не полностью. Корень-то корнем, Вы полностью его запишите и перейдите к пределу. Не получится там $g'(x)$.

А про первообразные - я не очень поняла, чего же Вы хотите на самом деле.

-- 31.01.2021, 02:36 --

misha.physics в сообщении #1503470 писал(а):

величину $\frac{1}{a^2x^4}$ нельзя считать малой при больших $a$, но малых $x$.

Судя по вот этому фрагменту, у Вас именно с переходом к пределу и проблемы.
Поточечная сходимость - $x$ фиксировано. Константа. Нету никаких малых и больших. Возьмите какое-то конкретное, если путаетесь. И стремим $a$ куда хотели.

[misha.physics]

Спасибо. Проверил предел для $g'(x)$ в WolframAlpha. Выходит $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2-\frac{1}{2x^2}$. А если взять фиксированное $x$, то считает предел по формуле $-\frac{1}{2x^2}$. Но теперь понятно, почему у меня графики для $f'(x)$ и $g'(x)$ визуально близки, там параметр $a$ берется хоть и большим, но не бесконечным и первый член в пределе, т.е. $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2$ пропадает и остается $-\frac{1}{2x^2}$ и он близок к функции $f'(x)$.

[Otta]

misha.physics в сообщении #1503475 писал(а):

Выходит $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2-\frac{1}{2x^2}$.

Это что Вы считали?

[misha.physics]

Это я взял вот это разложение снизу (первые два члена):

(Скрин)

[Otta]

misha.physics
А корень извлечь и написать ноль в пределе Вам не захотелось? Оно ж ответ Вам выдало.
И у Вас безо всякого вольфрама все было посчитано, оставалось только собрать, вычесть, перейти к пределу. К чему я Вас и призывала.

[misha.physics]

Otta,
я все ещё не совсем понял, оно выдало в качестве результата $0\infty$. Но ниже есть ещё член $-\frac{1}{2x^2}$, отсутствующий в пункте "Result". А сам с пределом я боялся ошибиться я даже не понял, что осталось собрать и вычесть... Но значит предел все-таки будет $-\frac{1}{2x^2}$, ведь выражение $0\lim\limits_{a\to+\infty}a^2$ дает ведь ноль?

[Otta]

misha.physics

misha.physics в сообщении #1503482 писал(а):

я все ещё не совсем понял, оно выдало в качестве результата $0\infty$.

Потому что Вольфрам по умолчанию смотрит на это все как на комплексные числа. А у корня не одна ветвь.

У Вас там $a$ перед корнем, а я его не заметила:( Вот просила же собрать все Ваши выкладки воедино, с этими кусками ничего не разобрать.

Не, для выражения с $a$ перед корнем будет таки $-1/(2x^2)$ в пределе. Считайте вручную, Вольфрам Вас только путает.
На первом курсе такие пределы учат домножением на сопряженное считать )) Но можно и Вашим способом.

[misha.physics]

Otta в сообщении #1503483 писал(а):

Вот просила же собрать все Ваши выкладки воедино, с этими кусками ничего не разобрать.

Ой, теперь понял.

Otta в сообщении #1503483 писал(а):

На первом курсе такие пределы учат домножением на сопряженное считать ))

$$\lim\limits_{a\to+\infty}(a^2x^2-a\sqrt{1+a^2x^4})=-\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{a^2}{a^2x^2+a\sqrt{1+a^2x^4}}=-\lim\limits_{a\to+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{\frac{1}{a^2}+x^4}}=-\frac{1}{2x^2}$$

Спасибо за подсказку.

[Otta]

misha.physics
Не за что. Но как я понимаю, исходная Ваша задача была не в этом. А понять, есть ли сходимость у функций, которые Вы в итоге продифференцировали.
Там сразу же плохая постановка. Первообразных - семейство, и какую "плюс константу" выдаст тот интеграл - никто не знает ) любую, ващет.

Потому если уж нужно сходимость там исследовать, то нужно писать интеграл с переменным верхним (нижним) пределом в качестве первообразной. Будет ли там поточечная сходимость - это совершенно отдельная задача, в решении которой только лишь поточечная сходимость производных ничем не помогает.