Сферические компоненты оператора после вращения

[Knight7]

Следующий вопрос возник при решении задачи по квантовой механике:

Цитата:

Оператор $V=xyz$ поворачивают вокруг оси $z$ на угол $\theta = \pi / 4$. Найти сферические компоненты нового оператора, не используя сферические функции $\ell = 3$.

Очевидно, что $V=T_{xyz}$ где $T=\vec{r}\otimes\vec{r}\otimes\vec{r}$ тензор 3 ранга. У этого тензора есть сферические компоненты $T_{q}^{(k)}$ где $k=0,1,2,3$. С другой стороны, каждый $r_i$ в компонентах $T_{ijk}=r_i r_j r_k$ это некая линейная комбинация сферических функций $Y_{q}^{(1)}$. Пользуясь свойствами D-матриц Вигнера, можно показать, что

$$\mathcal{D}Y_{\pm1}^{\left(1\right)}\mathcal{D}^{\dagger}=e^{\mp i\pi/4}Y_{\pm1}^{\left(1\right)},\;\mathcal{D}Y_{0}^{\left(1\right)}\mathcal{D}^{\dagger}=Y_{0}^{\left(1\right)}$$

Таким образом, если $V=\sum A_{i}Y_{m_{1}}^{\left(1\right)}Y_{m_{2}}^{\left(1\right)}Y_{m_{3}}^{\left(1\right)}$ то поворот данного оператора можно представить в виде

$$ V^{\prime}=\mathcal{D}\hat{V}\mathcal{D}^{\dagger}=\sum A_{i}\mathcal{D}Y_{m_{1}}^{\left(1\right)}\mathcal{D}^{\dagger}\mathcal{D}Y_{m_{2}}^{\left(1\right)}\mathcal{D}^{\dagger}\mathcal{D}Y_{m_{3}}^{\left(1\right)}\mathcal{D}^{\dagger} $$

т.е. единственное, что меняется при данном повороте это коэффициенты $A_i$. Однако не совсем понятно как из этого можно извлечь сферические компоненты $V^{\prime}$. Само понятие "сферические компоненты" мне знакомо только в контексте векторных операторов или их внешних произведений. Например, для обычного векторного оператора $\vec{U}=(U_x, U_y, U_z)$ имеем $U_{\pm1}^{\left(1\right)}=\mp\frac{1}{\sqrt{2}}\left(U_{x}\pm iU_{y}\right),U_{0}^{\left(1\right)}=U_{z}$. Но $V^{\prime}$ это всего лишь одна из компонент нового тензора $T_{ijk}^{\prime}$.