Равномерно ограниченная последовательность функций

[artempalkin]

Вопрос такой: построить равномерно ограниченную, но не равностепенно непрерывную последовательность функций (на любом множестве), чтобы из нее нельзя было выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Я придумал такую ФП: $f_n(x)=\sin nx$ на $[0;\pi]$. Я так понимаю, что из нее не выделишь даже сходящуюся подпоследовательность, тем более равномерно, но вот в доказательстве не уверен...

Выделим некоторую подпоследовательность $f_k(x)=\sin n_kx$.

Рассмотрим точку $\pi/2$. В ней $\sin n_kx$ принимает любое из трех значений, и чтобы последовательность сходилась, нужно, чтобы начиная с некоторого момента у всех функций в ней было только одно из этих значений. Это означает, что наши $n_k$ должны иметь конкретное значение $\mod 3$ (а значит разность между соседними $n_k$ должна быть не меньше 3).

Далее, в точке $\pi/4$ та же логика, значит Это означает, что наши $n_k$ должны иметь конкретное значение $\mod 5$ (а значит разность между соседними $n_k$ должна быть не меньше 5). Продолжаем так до бесконечности и понимаем, что никакая конечная разность между соседними $n_k$ нас не удовлетворит...

Пойдет, как думаете, такое доказательство?

[Otta]

Извините, что отвечаю на другой вопрос, но.
Аналогичное утверждение периодически обсуждается, трудно устоять :)
Например. topic907.html

[artempalkin]

Otta в сообщении #1502418 писал(а):

Аналогичное утверждение периодически обсуждается, трудно устоять :)

Мне все-таки кажется, что это не аналогичное утверждение, потому что тут речь идет о подпоследовательности (которую мы можем выбрать произвольно). Значения $\sin n$ при произвольных натуральных $n$, я вполне уверен, не заполняют отрезок $[-1;1]$ равномерно. Наоборот, мы можем выбрать такую последовательность натуральных чисел, что $\sin n$ будет сходиться к любому числу на этом отрезке, что как бы как раз-таки является некоторым препятствием в доказательстве моего утверждения :(

[Otta]

Да, Вы правы.

[artempalkin]

Кажется, мой исходный метод не совсем верен по некоторым причинам, и нужно брать точки $x=2\pi/p$, где $p$ -- простые числа. Тогда на самом деле все $n_k$ с какого-то момента должны совпадать по модулю $p$, то есть расстояние между ними должно быть минимум $p$. Поскольку $p$ произвольное, а простые числа бывают сколь угодно большие, соседние $n_k$ должны быть сколь угодно далеко друг от друга, а значит такого набора $n_k$ не найдется.

Кажется, верно! Но если кто-то из уважаемых профессионалов прокомментирует, буду благодарен!

[artempalkin]

artempalkin в сообщении #1502427 писал(а):

Кажется, верно!

Нет, скорее всего не верно... В каждой конкретной точке $x=2\pi/p$ ФП будет сходиться, если взять, например, $n_k=\prod p_i$ -- произведение по всем простым до некоторого.

Вообще это же почти очевидно, что последовательность $f_n(x)=\sin nx$ на $[0;\pi]$ не будет сходиться, но нужен какой-то элегантный подход...

[Otta]

Ну для исходной постановки, как вариант. Не знаю, насколько Вас устроит.

artempalkin в сообщении #1502406 писал(а):

чтобы из нее нельзя было выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Я придумал такую ФП: $f_n(x)=\sin nx$ на $[0;\pi]$.

Из равномерной сходимости следует сходимость в среднеквадратичном. Последовательность в $L_2$ ортогональна. И для всех $m\neq n \ \left\|f_n-f_m\right\|^2_{L_2[0,\pi]}=\pi$. Следовательно, всякая подпоследовательность не является фундаментальной в $L_2$. Значит, и в $C[0,\pi]$ тоже.

Поточечную тоже можно сделать, но чуть сложнее.

[artempalkin]

Otta
Ооо, это прямо такое интересное и нетривиальное доказательство. Я только не понял, какую роль играет вот это

Otta в сообщении #1502513 писал(а):

Последовательность в $L_2$ ортогональна.

Или просто замечание к сведению?

Доказательство очень интересное, и особенно приятно, что задачу-то по сути я придумал сам :)

Но мне все же кажется, что должно быть какое-то прямо простое доказательство в том числе поточечной расходимости...

[Otta]

artempalkin
Ну я как думала, так писала. Я думала на этом языке. Потом детализировала:

Otta в сообщении #1502513 писал(а):

И для всех $m\neq n \ \left\|f_n-f_m\right\|^2_{L_2[0,\pi]}=\pi$.

Это следствие.
Можно выбросить ортогональность, хотя именно она существенна, в том смысле, что и утверждение становится более наглядным, и доказательство тоже.
То есть по сути, мы сейчас доказываем, что из ортонормированной в $L_2$ последовательности нельзя выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Сходящуюся п.в нельзя выбрать тоже, доказывается примерно так же, с применением теоремы Лебега. Тут еще нужна мажорируемость, но она есть.

[ewert]

А за что вообще борьба-то?

Критерий Арцела -- он ведь критерий: при условии равномерной ограниченности предкомпактность равносильна равностепенной непрерывности. Однако для синусов отсутствие равностепенной непрерывности вполне очевидно.

Если же хочется доказывать непредкомпактность именно в лоб, то зачем морока с синусами? Когда можно тупо взять последовательность, сходящуюся поточечно к какой-нибудь ступеньке.

[Otta]

ewert
Да ладно, интересная игрушка. Тем более, критерий Арцела наполовину решает задачу, как ее поставил автор, в какой-то момент он заинтересовался и поточечной сходимостью тоже.

Как я задачу видела: для данной конкретной последовательности, не используя критерий Арцела, показать отсутствие предкомпактности.
И заодно, показать, что сходящейся поточечно последовательности тоже выбрать нельзя.

[ewert]

Otta в сообщении #1502659 писал(а):

для данной конкретной последовательности, не используя критерий Арцела, показать отсутствие предкомпактности.
И заодно, показать, что сходящейся поточечно последовательности тоже выбрать нельзя.

Вот второй вопрос действительно нетривиален. Только его надо аккуратно сформулировать: доказать, что любая подпоследовательность расходится хотя бы в одной точке.

А первый... Не обязателен там Арцела, конечно. Легко и в лоб. Только говорить надо, естественно, не о сходимости, а о фундаментальности: никакая подпоследовательность не является равномерно фундаментальной.

Т.е. при всех сколь угодно больших $N$ найдутся $n_k,n_m>N$ такие, что $\max\limits_x|f_{n_m}-f_{n_k}|\geqslant\delta$ для некоторого фиксированного $\delta>0$.

Ну так если $n_m\geqslant2\,n_k$, то всё тривиально -- на любом полупериоде $\sin n_kx$ уместится хотя бы один период $\sin n_mx$. Если же $n_k<n_m<2\,n_k$, то $\sin n_mx-\sin n_kx=2\,\sin\frac{(n_m-n_k)x}2\cdot\cos\frac{(n_m+n_k)x}2$, и на полупериоде синуса уложатся как минимум полтора периода косинуса (тут чуть сложнее, да).

[thething]

ewert в сообщении #1502707 писал(а):

Только говорить надо, естественно, не о сходимости, а о фундаментальности

Необязательно о фундаментальности. Если есть подпоследовательность, равномерно сходящаяся к чему-то, то интегралы её членов по любому отрезку $[0,t]$ сходятся к интегралу предела. Интегралы членов подпоследовательности сходятся к нулю, поэтому интеграл предела по любому отрезку $[0,t]$ нулевой, значит, и сам предел нулевой, т.е. его норма нулевая, что противоречит тому, что нормы членов подпоследовательности равны единице.