Сходимость последовательности в метрическом пространстве

[Skyfall]

Приветствую. Прошу помощь с несложной задачкой:
Является ли заданное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности $x_{n}$ в метрическом пространстве $C[a, b]$?
Условие:
$\forall t\in [a, b]$ существует предел числовой последовательности $x_{n}(t)$.

Решение (попытка).
Сходимость в $C[a, b]$ — это существование $x_{0} \in C[a, b]$, для которого $p(x_0, x_{n})\to0$ при $n\to\infty$, где $p(x,y)=\max\limits_{t\in [a, b]}\left\lvert x(t)-y(t) \right\rvert.
По условию существует предел $x_{n}(t)$, обозначим $b(t)$, т.е.
$x_{n}(t) \to b(t), \forall t\in [a, b], n\to\infty$,
$x_{n}(t) - b(t)\to 0 , \forall t\in [a, b], n\to\infty$,
$ \max\limits_{t\in [a, b]}\left\lvert x_{n}(t) - b(t) \right\rvert \to 0 , \forall t\in [a, b], n\to\infty$
но, если я правильно понимаю, по условию не гарантируется $b(t)\in C[a, b]$, т.е. условие недостаточное.

[alcoholist]

Skyfall в сообщении #1502491 писал(а):

По определнию сходящейся последовательности данное условие – достаточное.

Для того, чтобы это утверждать, а тем более утверждать что-то еще, надо проанализировать условие сходимость в метрическом пространстве $X=C[a;b]$.

[Skyfall]

alcoholist
Почему нужно анализировать условие сходимости? Смотрю Определение 3, там сказано, что если есть предел, то последовательность сходящаяся. По условию задачи сказано, что предел есть.

[Lia]

Skyfall
Уберите вторую картинку, первую наберите полностью и тоже уберите (у Вас аргумент пропущен и это влияет на понимание).
И напишите, что такое сходимость в Вашем конкретном метрическом пространстве, что должно выполняться.
Можете и проверить заодно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Otta]

Skyfall в сообщении #1502491 писал(а):

$ \max\limits_{t\in [a, b]}\left\lvert x_{n}(t) - b(t) \right\rvert \to 0 , \forall t\in [a, b], n\to\infty$

Меня очень напрягает, что максимум по отрезку Вы считаете для любого $t$. Он неужели от точки отрезка зависит?
Ну и посмотрите на Ваши два условия. И какое из какого следует.

[Skyfall]

Otta
не зависит, ошибка.
Какое условие из какого следует: я попробовал показать, что условия тождественны с той лишь разницей, что про предел не уточняется, принадлежит ли он пространству.

Я так понимаю, что $C[a,b]$ состоит из непрерывных на данном отрезке функий, далее берем из пространства функции и строим последовательность $x_n, n=\overline{1,\infty}$, где $x_i=x_i(t)$ функция с одним аргументом $t$.
Дальше говорится, что существует предел для $x_n(t)$ для любого $t$ — и тут я не вижу отличия от определения сходящейся последовательности (кроме принадлежности предела самому пространству) — в определении так и пишут $a=\lim\limits_{n\to\infty}^{}x_n$.

Видимо я ошибаюсь и есть какая-то разница в $x_n$ и $x_n(t)$.

[Otta]

Skyfall
Нет, они не тождественны.
Например, $x_n(t)=t/n$ стремится в каждой точке куда-то там, при $n\to \infty$.
И этот предел вполне себе непрерывен. Даже на всей вещественной прямой.
А вот максимум модуля разности $x_n$ и предельной функции по всей вещественной прямой чему равен? Стремится к нулю?

-- 25.01.2021, 00:31 --

Skyfall в сообщении #1502594 писал(а):

Дальше говорится, что существует предел для $x_n(t)$ для любого $t$ — и тут я не вижу отличия от определения сходящейся последовательности (кроме принадлежности предела самому пространству)

Пока не видите, да. Проблема именно в этом.

[Skyfall]

Otta
Т.е. по условию имеем $x_n(t)\to b(t), n\to \infty, \forall t \in [a,b]$.
А оценить нужно $ \max\limits_{t\in [a, b]}\left\lvert x_{n}(t) - b(t) \right\rvert , n\to\infty$. Это верно записано?
Но как, если нам неизвестна ни последовательность $x_n(t)$, ни функция-предел $b(t)$?
Вы сказали, что предел непрерывен на $\mathbb{R}$ — насколько я понимаю, это о конкретно приведенном Вами примере. Или в общем

[Otta]

Skyfall в сообщении #1502599 писал(а):

насколько я понимаю, это о конкретно приведенном Вами примере.

Я говорила пока о конкретном. Посчитайте, что будет в нем. Трудно рассуждать сразу в общем случае. Можно, но трудно, и незачем, если не знаешь, как будет хотя бы на одном примере.

[Skyfall]

Otta
В Вашем примере $x_n(t) \to 0, n \to \infty, \forall t$. Т.е. какое бы $t$ не брали, все равно в пределе делим на бесконечно большое, т.е. будет $0$.

[Otta]

Ну и значит $b(t)=?$
И считайте максимум по $\mathbb R$.
Сравнивайте. Делайте выводы.

Возьмите другое множество. Посмотрите на ту же последовательность. Опять посчитайте, сравните.

Можно взять другую последовательность.

Когда гипотеза появится (или не появится), но уже как наиграетесь, напишите оба определения (для поточечной сходимости и для сходимости по метрике пространства непрерывных функций) на языке эпсилон-дельта, на низкоуровневом :) Там виднее.

Но вообще, обычно, когда функциональный анализ рассказывают, матан уже прочитан, и что такое сходимость максимума (или супремума), народ знает. Какому понятию она соответствует.