Кванты. Задача 3.14

[antonio.troitsky]

Решаю задачу из этого пособия https://logatelro7.com/uploads/uploads/book/n1.pdf под номером 3.14

Цитата:

A quantum mechanical system starts out in the state

$ \left\lvert \psi (0) \right\rangle = C (3 \left\lvert a_1 \right\rangle + 4 \left\lvert a_2 \right\rangle)$

where $\left\lvert a_i \right\rangle$ are the normalized eigenstates of the operator A corresponding to the eigenvalues $a_i$.
In this $ \left\lvert a_i \right\rangle $ basis, the Hamiltonian of this system is represented by the matrix

$H = E_0 \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

a) If you measure the energy of this system, what values are possible, and what are the
probabilities of measuring those values?
b) Calculate the expectation value $\left\langle A \right\rangle$ of the observable A as a function of time.

Для получения $\left\lvert \psi (t) \right\rangle$ нужно предствить исходное состояние в первоначальное состояние $\left\lvert \psi (0) \right\rangle$ в базисе оператора H:
$ \left\lvert \psi (0) \right\rangle = C_1 \left\lvert E_1 \right\rangle + C_2 \left\lvert E_2 \right\rangle $
Но как выклядят вектора $ \left\lvert a_i \right\rangle $ базиса оператора А мне не известно.

Но правильно ли считать, что в этой строчке описано следующиее, что $ \left\lvert E_i \right\rangle = \left\lvert a_i \right\rangle $?

Цитата:

"In this $ \left\lvert a_i \right\rangle $ basis, the Hamiltonian of this system is represented by the matrix."

Т.е. базисы операторов совпадают, т.е. можно сделать вывод, что $H = A$?

[lel0lel]

antonio.troitsky в сообщении #1502221 писал(а):

Т.е. базисы операторов совпадают, т.е. можно сделать вывод, что $H = A$?

Нет, иначе опепатор $H$ в рассматриваемом базисе имел бы диагональный вид. Вам нужно решить задачу на св и сз оператора энергии, то есть найти св матрицы 2×2. Это даст вам выражение для собственных векторов гамильтониана в представлении оператора A.

[antonio.troitsky]

lel0lel в сообщении #1502223 писал(а):

Вам нужно решить задачу на св и сз оператора энергии, то есть найти св матрицы 2×2.

Если это сделать, то я получу некоторые вектора $\left\lvert E_i \right\rangle$. И они должный варажаться в базисе $\left\lvert a_i \right\rangle$.
Т.е. $\left\lvert E_i \right\rangle = c_{i1} \left\lvert a_1 \right\rangle + c_{i2} \left\lvert a_2 \right\rangle $. Но как мне выразить исодный вектор

antonio.troitsky в сообщении #1502221 писал(а):

$ \left\lvert \psi (0) \right\rangle = C (3 \left\lvert a_1 \right\rangle + 4 \left\lvert a_2 \right\rangle)$

в предствалении оператора H?

[lel0lel]

antonio.troitsky в сообщении #1502264 писал(а):

как мне выразить исодный вектор

Сначала решите получившуюся систему и найдите св оператора $A$ в энергетическом представлении.

[antonio.troitsky]

lel0lel в сообщении #1502272 писал(а):

начала решите получившуюся систему и найдите св оператора $A$ в энергетическом представлении.

В смысле? Какую систему?

[lel0lel]

Эту

antonio.troitsky в сообщении #1502264 писал(а):

$\left\lvert E_i \right\rangle = c_{i1} \left\lvert a_1 \right\rangle + c_{i2} \left\lvert a_2 \right\rangle $.

[antonio.troitsky]

lel0lel в сообщении #1502314 писал(а):

Эту antonio.troitsky в сообщении #1502264

писал(а):
$\left\lvert E_i \right\rangle = c_{i1} \left\lvert a_1 \right\rangle + c_{i2} \left\lvert a_2 \right\rangle $.

Да, но в этом конкртено уравнении, 2 низвестных $c_{i1}, c_{i2}$ слева, и еще 4 неизвестных координаты $\left\lvert a_1 \right\rangle =\binom {a_{11}} {a_{12}}, \left\lvert a_2 \right\rangle =\binom{a_{21}}{a_{22}} $
Даже если добавить второй СВ в предствалении H, то получится еще два урванения, но добавиться еще 2 неизвестных.
Итого 4 уравнения и 8 неизвестных.

[StaticZero]

antonio.troitsky, отвлечёмся на секунду от квантовой мхеаники. Продолжите утверждение: если некая (пусть квадратная для простоты) матрица $A$ записана в базисе $\mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n$ в виде совокупности матричных элементов $a_{ij}$, то действие матрицы $A \mathbf e_k$ представляет собой вектор из компонент...

[antonio.troitsky]

StaticZero в сообщении #1502332 писал(а):

antonio.troitsky, отвлечёмся на секунду от квантовой мхеаники. Продолжите утверждение: если некая (пусть квадратная для простоты) матрица $A$ записана в базисе $\mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n$ в виде совокупности матричных элементов $a_{ij}$, то действие матрицы $A \mathbf e_k$ представляет собой вектор из компонент...

k-го столбца.

[StaticZero]

antonio.troitsky, всё так.

Поскольку гамильтониан уже записан в вашем базисе $\mathbf a_i$, то собственные векторы гамильтониана $\mathbf E_i$, которые вы найдёте, будут выражаться линейной комбинацией векторов базиса, в котором вы сидите: $\mathbf E_i = \sum_j K_i{}^j \mathbf a_j$. Вы уже вроде как понимаете, что вам надо обратно, и ваш вектор состояния имеет вид $\pmb \psi(0) = C(3 \mathbf a_1 + 4 \mathbf a_2)$.
Вопрос на засыпку: где здесь участвует конкретное координатное представление векторов $\mathbf a_j$?

[lel0lel]

antonio.troitsky в сообщении #1502331 писал(а):

Итого 4 уравнения и 8 неизвестных.

Если рассматривать эту систему не в компонентах, а векторно, то уравнений два. Вектора $| a_1 \rangle, \, | a_2\rangle$ в собственном базисе это столбцы с одной единичкой. Вот их и нужно выразить через св гамильтониана.

[antonio.troitsky]

StaticZero в сообщении #1502337 писал(а):

Поскольку гамильтониан уже записан в вашем базисе $\mathbf a_i$, то собственные векторы гамильтониана $\mathbf E_i$, которые вы найдёте, будут выражаться линейной комбинацией векторов базиса, в котором вы сидите: $\mathbf E_i = \sum_j K_i{}^j \mathbf a_j$. Вы уже вроде как понимаете, что вам надо обратно, и ваш вектор состояния имеет вид $\pmb \psi(0) = C(3 \mathbf a_1 + 4 \mathbf a_2)$.
Вопрос на засыпку: где здесь участвует конкретное координатное представление векторов $\mathbf a_j$?

Если мы имеем в виду, что СВ оператора $A$ образуют стандартный базис , то я легко представляю как решить эту задачу, потому что я могу найти компоненты СВ оператора $H$ и соответственно выразить их через СВ оператора $A$. Однако для меня сейчас как будто не очевидно, что СВ оператора $A$ образуют стандартный базис. Не могли бы прояснить этот момент?

lel0lel в сообщении #1502339 писал(а):

Если рассматривать эту систему не в компонентах, а векторно, то уравнений два. Вектора $| a_1 \rangle, \, | a_2\rangle$ в собственном базисе это столбцы с одной единичкой. Вот их и нужно выразить через св гамильтониана

Т.е. что и называется стандартным базисом, я правильно понимаю?
Однако я не совсем понял почему для произвольного оператора собственные вектора должны быть образовывать стандартный базис. Как я сейчас предполагаю, это должно работать только для диагонального оператора, у которого на диагонали стоят собственные значения данного оператора?

[StaticZero]

antonio.troitsky в сообщении #1502433 писал(а):

Однако для меня сейчас как будто не очевидно, что СВ оператора $A$ образуют стандартный базис. Не могли бы прояснить этот момент?

Во-первых, в гильбертовом пространстве все ортогональные базисы равноправны, и стандартность какого-то базиса -- это произвол выбора, который делается с точностью до унитарного преобразования между базисами. Зацепиться мы можем за какой-нибудь оператор физической величины, который мы выберем сами или же он нам будет дан свыше.

Можно иметь несколько физических величин, соответственно несколько выборов базиса; однако просто так, если ничего не дано, базис выбрать никакой нельзя и сказать про физику системы тоже ничего нельзя. В конце концов, нас интересуют ведь не базисы, а связи между физическими величинами в разных состояниях, и базисы -- это как будто такие медиаторы описания: можно в одном, можно в другом...

Во-вторых, равенство $\mathbf E_i = \sum_j K_i{}^j \mathbf a_j$, как и обратное ему выражение $\mathbf a_j$ через $\mathbf E_i$, имеет место для векторов, а векторы не зависят от описания (=от базиса, в котором они записаны), они просто есть.

Почему вы не можете выразить $\mathbf a_i$ через $\mathbf E_j$ на уровне линейных комбинаций, не используя при этом никакой базис?

[Утундрий]

(Оффтоп)

antonio.troitsky в сообщении #1502221 писал(а):

под номером 3.14

Забавно, что никого не насторожило.

[StaticZero]

antonio.troitsky в сообщении #1502433 писал(а):

Однако я не совсем понял почему для произвольного оператора собственные вектора должны быть образовывать стандартный базис.

Вы так зацепились за стандартность, как будто вы матстатистик, ей-богу. Если векторы оператора образуют базис, но какой-то нестандартный, то разве запрещается по нему что-то раскладывать? Статьи за базисоложество ведь нет.