Локальная калибровочная инвариантность и взаимодействие.

[apv]

В свое время прочитал замечательную книжку В.И, Григорьева и Г. Я Мякишева "Силы в природе" 7-е издание 1988. Там сказано следующее:

Силы в природе писал(а):

Но нельзя ли потребовать, чтобы локальная калибровочная симметрия все же выполнялась [$\psi \mapsto e^{i\alpha}\psi$]? [применительно к уравнению Шредингера, имеется ввиду в книге] Оказывается, можно. Однако для этого надо ввести в уравнение движения (уравнение Шредингера) физическое поле, осуществляющее взаимодействие. И это поле, как следует из математического аппарата теории, оказывается давно известным векторным электромагнитным полем.

У меня закрался вопрос, а правда ли, что из требования лишь локальной инвариантности можно угадать какое поле нужно ввести в уравнение Шредингера, чтобы удовлетворить калибровочной инвариантности? Сдается мне, что такого сделать нельзя: или я ошибаюсь, или я не правильно понял, что писали авторы. Ведь для того, чтобы знать какое поле нужно ввести, нужно уже знать каким калибровочным преобразованиям должно удовлетворять это поле, ибо удовлетворение калибровочной инвариантности достигается относительно одновременных калибровочных преобразований поля $A_{\mu} \mapsto A_{\mu} + i\partial_{\mu}\alpha$ и поля $\psi \mapsto e^{i\alpha}\psi$.

Инвариантность уравнения где-то здесь

[Утундрий]

apv в сообщении #1502050 писал(а):

для того, чтобы знать какое поле нужно ввести, нужно уже знать каким калибровочным преобразованиям должно удовлетворять это поле, ибо удовлетворение калибровочной инвариантности достигается относительно одновременных калибровочных преобразований поля $A_{\mu} \mapsto A_{\mu} + i\partial_{\mu}\alpha$ и поля $\psi \mapsto e^{i\alpha}\psi$.

Вы где-то потеряли по дороге инвариантность самого уравнения, так что полу́чите его в виде результата. Если же исходить из инвариантности уравнения и закона преобразования волновой функции, то как раз и получится нужного вида добавка, "удлиняющая" производную.

[apv]

Утундрий в сообщении #1502052 писал(а):

Вы где-то потеряли по дороге инвариантность самого уравнения, так что полу́чите его в виде результата.

Инвариантность уравнения по ссылке здесь. Но и тут есть важная приписка:

Цитата:

This equation shows the covariance of Equations (17) under the gauge transformations: If Equation (17) holds then its transformed form also holds.

Если недословно перевести, то сказано следующее "если вдруг окажется, что само уравнение Шредингера (уже с взаимодейтвием) ковариантно, то и преобразованное уравнение тоже ковариантно."

Конечно можно попытаться сделать методом брутальной силы, но так можно и умереть, получив кучу слагаемых после дифференцирования.

[Утундрий]

apv в сообщении #1502055 писал(а):

Инвариантность уравнения по ссылке

При чём тут какие-то ссылки? Замечание относилось к выделенному фрагменту. Инвариантности уравнения нет в вашем рассуждении, вы её не используете. И потом ещё чему-то удивляетесь.

apv в сообщении #1502055 писал(а):

если вдруг окажется

Будьте добры привести механизм этого "вдруга". А то мне уже порядком осточертели квазилогические "рассуждения" на тему "А что будет, если на три секунды в шаре радиуса три километра отключится электромагнитное взаимодействие?"

[apv]

Утундрий в сообщении #1502056 писал(а):

Инвариантности уравнения нет в вашем рассуждении, вы её не используете.

Я ее не использую, а лишь предполагаю, как можно было бы показать то, что написано в книге. Скорее уравнение Шредингера не инвариантно.

-- Ср янв 20, 2021 18:55:22 --

Утундрий в сообщении #1502056 писал(а):

Будьте добры привести механизм этого "вдруга".

Это не мое "вдруг", это мой недословный перевод цитаты.

-- Ср янв 20, 2021 18:59:27 --

apv в сообщении #1502058 писал(а):

Будьте добры привести механизм этого "вдруга".

А вот здесь можно попробовать методом в лоб, но сложно запутанно выйдет, и мелкие ошибки (в знаках или еще где), могут погубить все дело

[Утундрий]

apv
Из общения с вами я вынес, что некоторые вопросы, будучи заданными, могут быть решены путём соответствующих рассуждений, приводящих к определённым выводам относительно затронутых тем и явлений, обусловленных влиянием на них разнообразных факторов, следующих из ряда фундаментальных концепций.

[apv]

Утундрий
Хорошо, или плохо, не знаю.

Утундрий в сообщении #1502052 писал(а):

Если же исходить из инвариантности уравнения и закона преобразования волновой функции, то как раз и получится нужного вида добавка, "удлиняющая" производную.

Поможете получить добавку?

Я пока здесь.

Рассмотрим уравнение Шредингера для свободной частицы
\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_i^2\psi = i\hbar\partial_t \psi \end{equation}
Оно не инвариантно относительно преобразования $\psi' = e^{i\alpha(x,y,z,t)}\psi$.

Нужно получить уравнение, которое будет инвариантным, т.е. нужно что-то типа этого
\begin{equation*}\label{} -\frac{\hbar^2}{2m} D_i^2 (e^{i\alpha}\psi) = i\hbar D_t (e^{i\alpha}\psi) \end{equation*}

Рассмотрим производные:
\begin{align*}\label{} \partial_i (e^{i\alpha}\psi) &= e^{i\alpha} \partial_i\psi + i (e^{i\alpha}\psi) \partial_i\alpha,\\ \partial_i^2 (e^{i\alpha}\psi) % &= ie^{i\alpha} \partial_i\alpha\ \partial_i\psi + e^{i\alpha} \partial_i^2 \psi + i (e^{i\alpha}\psi)\partial_i^2\alpha + i\partial_i\alpha ( e^{i\alpha} \partial_i\psi + i (e^{i\alpha}\psi) \partial_i\alpha) = \\ &= e^{i\alpha} \partial_i^2 \psi + 2i (e^{i\alpha}\psi)\partial_i\alpha \partial_i\psi + (e^{i\alpha}\psi)\partial_i^2\alpha - (e^{i\alpha} \psi) (\partial_i\alpha)^2 \end{align*}

И дальше застрял. Нужен толчок.

[apv]

Предполагаем, что $\psi'$ тоже решение уравнения Шредингера, тогда получаем:
\begin{equation*}\label{} -\frac{\hbar^2}{2m} (\partial_i + i\partial_i\alpha)^2 \psi + \hbar \partial_t\alpha\ \psi = i\hbar\partial_t \psi \end{equation*}

[espe]

apv в сообщении #1502075 писал(а):

И дальше застрял. Нужен толчок.

Если ещё актуально.

Пусть у нас имеется линейное дифференциальное уравнение на $\psi,$ $L\psi=0$. Очевидно, что для глобальных ($\partial_\mu\alpha=0$) преобразований $\psi'=e^{i\alpha}\psi$ выполняется $\partial_\mu\psi'=e^{i\alpha}\partial_\mu\psi$ и, как следствие этого, будет выполнятся $L\psi'=e^{i\alpha}L\psi.$

Теперь делаем преобразования локальными $\partial_\mu\alpha(x)\ne0$ и хотим чтобы по прежнему выполнялось (что-то типа)

$$L'\psi'=e^{i\alpha(x)}L\psi.\qquad\qquad(1)$$

Это достигается с помощью введения ковариантной производной $D_\mu=\partial_\mu+A_\mu,$ такой, чтобы выполнялось соотношение

$$D'_\mu\psi'=e^{i\alpha(x)}D_\mu\psi.\qquad\qquad(2)$$

Если выполняется соотношение (2), то будет выполнятся и соотношение (1). Теперь подставляем всё в соотношение (2), вычисляем, сокращаем, получаем

$$D'_\mu\psi'=e^{i\alpha(x)}D_\mu\psi \qquad\Longrightarrow\qquad (\partial_\mu+A'_\mu)e^{i\alpha(x)}\psi=e^{i\alpha(x)}(\partial_\mu+A_\mu)\psi \qquad\Longrightarrow\qquad A'_\mu=A_\mu-i\partial_\mu\alpha. $$

[apv]

Не актуально, но спасибо!