Оптимальное управление ДУЧП градиентного типа

[пианист]

Т.е. задача: подобрать такой целевой функционал $J$ (кстати, первое и второе $f$ у Вас это разные $f$?), чтобы, управляя функцией $u(x, t)$, минимизация $J$ приводила бы к заданному поведению $x(t)$, правильно?
На первый взгляд, задача распадается на две несвязанные:
1) имея $x(t)$, подобрать $J$, который данная функция минимизирует (обратная задача вариационного исчисления),
2) имея $x(t)$, подобрать $u(x, t)$ такой, чтобы диффур (он, кстати, по видимости обыкновенный) выполнялся (это просто тривиальная подстановка).

[dtn888]

Отсюда и далее будем считать, что это обычный диффур.

Вы совершенно верно суть уловили. Да, задача именно такая, я даже приложу к сообщению картинку, как это должно выглядеть в итоге.

Вот, что должно получаться. Синее - то, что есть. Оранжевое - то, что должно быть.



Решенние диффура приходит из начальной точки (которую мы сами задаём) в точку максимума, и отсюда вытекает проблема - заранее положение этой точки нам неизвестно, градиентное уравнение его как раз и ищет. Поэтому, этот переходный процесс нужно "корректировать" в реальном времени. Я подумывал использовать какие-либо свойства экспонент. А уже исходя из выбранного критерия экспоненциальности формировать входной сигнал. На этом этапе и наткнулся на "PDE (Partial Differential Equation) control". Как использовать это - мне не совсем понятно, да и не уверен я, что верный путь выбрал.

Есть ещё одна проблема с подстановкой, которая связана с первой - подстановка должна быть такой, чтобы система сошлась в экстремум, а не куда попало.

пианист в сообщении #1501567 писал(а):

(кстати, первое и второе $f$ у Вас это разные $f$?)

А вот этот вопрос, простите, я вообще не понял, но $f$, это обычная функция, содержащая $x$, так будет и далее.

[Pphantom]

dtn888, не надо создавать отдельные темы в разных разделах с обрывками обсуждения одной и той же задачи. Все три темы объединены под названием и в разделе, соответствущим последней.

[пианист]

dtn888 в сообщении #1501579 писал(а):

пианист в сообщении #1501567 писал(а):
(кстати, первое и второе $f$ у Вас это разные $f$?)

А вот этот вопрос, простите, я вообще не понял

Вы используете символ $f$ здесь:

dtn888 в сообщении #1501507 писал(а):

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u$

гду $f=\frac{1}{(x-x_*)^2+1}$, и

и здесь:

dtn888 в сообщении #1501507 писал(а):

функцию стоимости $J$ (или критерий экспоненциальности) такой, что переходный процесс из $x(0)$ в $x_*$ происходил по экспоненте, критерий для этого неизвестен, т.е.:

$J = f(x,x^{'}...x^{''},u) =?$

Я взял на себя смелость предположить, что это различные объекты (в противном случае Ваш текст совсем не понимаю).

Содержательно свои соображения высказал, вариационное исчисление, паче его обратные задачи не курил, сори.

[B@R5uk]

dtn888 в сообщении #1500206 писал(а):

Нужно сделать так, чтобы решением данного градиентного уравнения всегда был переход из одного состояния в другое по экспоненте. Замечу ещё раз, что точка экстремума заранее неизвестна и его поиск как раз и является функцией данного градиентного уравнения.

У меня есть ощущение, что нужно включить дополнительный управляющий сигнал, т.е. уравнение должно выглядеть следующим образом:

$\frac{dx}{dt}=\frac{df}{dx}+u$

Выделенное жирным означает, что у вас $x(t)$ задано. В чём тогда проблема? Подставляете его в уравнение и находите $u(t)$.

[dtn888]

B@R5uk в сообщении #1501592 писал(а):

В чём тогда проблема? Подставляете его в уравнение и находите $u(t)$.

Желаемое решение имеет вид:

$x(t) = (x(0) - x_*) \cdot e^{- \beta \cdot t} + x_*$

где $x(0)$ - начальное значение решения, $x_*$ - значение, при котором достигается максимум функции.

Проблема вот в чём:
Предполагается, что значение $x_*$ заранее неизвестно. Его-то градиентное уравнение и ищет.

А как решать задачу, если $x(t)$, при котором достигается максимум функции, ещё не найден, а переходный процесс должен происходить по экспоненте.

Таким образом, для того, чтобы последовать вашему совету, я должен знать положение максимума до того, как он будет найден "системой".

-- 17.01.2021, 21:40 --

Та функция, которую я задал, мне же надо что-то моделировать, вот я её и задал. А вообще предполагается, что ни экстремум, ни структура функции нам неизвестна.

[B@R5uk]

dtn888 в сообщении #1501626 писал(а):

при котором достигается максимум функции

Которой функции?

[dtn888]

B@R5uk в сообщении #1501638 писал(а):

dtn888 в сообщении #1501626 писал(а):

при котором достигается максимум функции

Которой функции?

Ещё раз запишем уравнение с другим обозначением функции, например F:

$\frac{dx}{dt} = \frac{dF}{dx}+u$

$F=\frac{1}{((x-x_*)^2+1)}$

Функции $F$

[B@R5uk]

Кажется я начинаю догонять. Вы хотите построить систему, которая решает задачу на экстремум функции, причём точность решения растёт экспоненциально по времени?

[dtn888]

Нет.

Давайте ещё раз повторим.

Решением градиентного уравнения является некоторая функция, описывающая переход из точки $x(0)$ в момент времени t=0 в точку $x$, при которой достигается максимум/минимум выбранной одноэкстремальной функции F.

Поскольку эта функция может быть очень сложной (в отличие от $-x^2$, например), как в нашем случае, то кривая переходного процесса также имеет сложную форму.

Нужно сделать так, чтобы независимо от структуры функции $F$ и независимо от положения её экстремума, переходный процесс из любой начальной точки $x(0)$ в точку, при которой достигается максимум функции $F$, всегда происходил по экспоненте с заданной постоянной времени.

[B@R5uk]

Вы сказали то же самое, что и я, только наложили дополнительное условие постоянства относительной скорости (величина $1/x\cdot dx/dt$). Но выполнить это условие невозможно, не зная положение экстремума. Докажем это от противного. Предположим, мы нашли решение (желаемую вами экспоненту) не зная положения экстремума. Тогда мы тот час же можем сказать, где этот экстремум находится (константа, на которую смещена экспонента) — противоречие.

[dtn888]

Возможно, я не совсем верно Вас понял.

Объясните мне разницу между "экспоненциальный переходный процесс" и "точность, экспоненциально растущая по времени" ?

-- 18.01.2021, 10:38 --

Если Вы под точностью имеете ввиду разницу между текущим состоянием и положением экстремума, то да, соглашусь, этого нужно добиться.

-- 18.01.2021, 10:49 --

Ещё добавлю кое-что, я ранее об этом писал. Экспоненциальный переходный процесс возможно создать, если наложить следующее условие:

$x^{''}+x^{'}=0$

Но, тогда требуется знать начальное значение $x^{'}(0)$ в момент времени $t=0$, иначе система не сходится в экстремум, а куда попало.

[B@R5uk]

dtn888 в сообщении #1501687 писал(а):

Объясните мне разницу между "экспоненциальный переходный процесс" и "точность, экспоненциально растущая по времени" ?

Первое — это заданная функция. С известными смещением, амплитудой и скоростью. Второе — это совершенно произвольная функция, которая удовлетворяет условию

$$\left|f(t)-x^*\right|\le A\exp(-\beta t)$$

начиная с некоторого неизвестного момента времени для каких-то неизвестных $A>0$ и $\beta>0$.

[dtn888]

B@R5uk в сообщении #1501690 писал(а):

dtn888 в сообщении #1501687 писал(а):

Объясните мне разницу между "экспоненциальный переходный процесс" и "точность, экспоненциально растущая по времени" ?

Первое — это заданная функция. С известными смещением, амплитудой и скоростью. Второе — это совершенно произвольная функция, которая удовлетворяет условию

$$\left|f(t)-x^*\right|\le A\exp(-\beta t)$$

начиная с некоторого неизвестного момента времени для каких-то неизвестных $A>0$ и $\beta>0$.

Я так понимаю, по каким-то причинам второе условие невыполнимо?

[B@R5uk]

Не правильно понимаете, я такого не говорил.