Muha_ и фаза комплексных чисел

[Viatcheslav1]

Цитата:

Между $\sin 0{,}003$ и $\sin 0{,}003^\circ$ разница вообще-то есть...

Разница, разумеется, есть. Но ведь и указанные Вами величины не являются бесконечно малыми в полном смысле этого слова. А вот когда они достигнут настоящей бесконечной малости, то разница вообще исчезнет.

[StaticZero]

Viatcheslav1 в сообщении #1501460 писал(а):

А вот когда они достигнут настоящей бесконечной малости, то разница вообще исчезнет.

Мне кажется, что вы не поняли проблематики. Ладно. Поясню. Пусть $f(x) = x + o(x)$ при $x \to 0$. Тогда $f(x)/x = 1 + o(1)$, но $\left. f(ax)/x \right|_{x\to 0}$ будет зависеть от $a$.

[Odysseus]

Viatcheslav1 в сообщении #1501454 писал(а):

Неужели для первого замечательного предела есть разница между градусами и радианами?

Есть, конечно. Представьте это следующим образом. Если $\sin x$ определяется так, что $\sin 180 = 0$, а не $\sin \pi = 0$, т.е. первый ноль у синуса при положительном значении аргумента будет при значении аргумента 180, а не $\pi$, то график синуса будет намного более "пологим", в разложении синуса первым членом вместо $x$ будет $x \cdot \frac{\pi}{180}$, и первый замечательный предел будет равен не $1$, а $\frac{\pi}{180}$

Viatcheslav1 в сообщении #1501460 писал(а):

Разница, разумеется, есть. Но ведь и указанные Вами величины не являются бесконечно малыми в полном смысле этого слова. А вот когда они достигнут настоящей бесконечной малости, то разница вообще исчезнет.

По вашей логике $\lim\limits_{x\to 0} {\frac{2x}{x}}$ тоже равен $1$ когда выражения в числителе и знаменателе "достигнут настоящей бесконечной малости"?

[Viatcheslav1]

Цитата:

вопрос, что считать "делением на градусы".

Это и вправду хороший вопрос. Первый замечательный предел доказывается с помощью геометрических построений и длины дуги, которая, разумеется, измеряется не в градусах. Но в целом, как мне кажется, если вести речь исключильно об указанном пределе, то ответ будет одинаковым для любых единиц, даже таких экзотических как gradians.

[Muha_]

Odysseus в сообщении #1501452 писал(а):

Ну и не всегда она умножается с мнимой величиной. Например, в $e^{i \varphi}$ умножается, а в $\cos \varphi + i\sin \varphi$ - нет.

Да, я там неправильно выразился совершенно. Я хотел сказать, что мы можем не задумываться как у нас выражается фаза комплексного числа (в радианах, в градусах или вообще от 0 до 1) до тех пор, пока одна и та же величина не фигурирует одновременно в фазе в показательной записи комплексного числа и в мнимой части другого числа в одном выражении. Как в этом выражении:

$$\lim\limits_{x\to 0} {\frac{e^{i x} - 1}{i x}}$$

Odysseus в сообщении #1501452 писал(а):

Это тоже что-то странное. Интервал фазы выражается не в мнимых величинах.

Если фаза записана в радианах, то ее величина равна абсолютной величине мнимой части этого числа (речь была о числе с модулем 1). Благодаря этому факту (как я понял) производная экспоненты получается равной экспоненте.

Odysseus в сообщении #1501452 писал(а):

Под "изоморфизмом", вы, например, тоже понимаете что-то свое.

Если принять, что фаза меняется от 0 до 360, то для $x=180$ получим, $x + e^{i x} = 179$, а если считать что фаза меняется от 0 до $2 \pi$, то для $x=180$ получаем нечто иное, и для $x=\pi$ получаем $x + e^{i x} = \pi-1$ - тоже не 179.
Т.е. это совершенно разные системы комплексных числел. Первый вариант комплексных чисел "неправильный", но мы всего лишь не стали использовать радианы. Вопрос про этот неправильный вариант - насколько он работоспособен.

Odysseus в сообщении #1501452 писал(а):

Работает, вам же уже писали об этом выше.

Это слишком сильное заявление, чтобы в него сразу поверить без подтверждения и подробностей.

[Viatcheslav1]

Цитата:

Есть, конечно. Представьте это следующим образом. Если $\sin x$ определяется так, что $\sin 180 = 0$, а не $\sin \pi = 0$, т.е. первый ноль у синуса при положительном значении аргумента будет при значении аргумента 180, а не $\pi$, то график синуса будет намного более "пологим", в разложении синуса первым членом вместо $x$ будет $x \cdot \frac{\pi}{180}$, и первый замечательный предел будет равен не $1$, а $\frac{\pi}{180}$

Подождите. Но ведь $180°$ это же не просто число $180$. Его нельзя просто так сравнивать с π.

[irygaev]

Muha_ в сообщении #1501466 писал(а):

Если фаза записана в радианах, то ее величина равна абсолютной величине мнимой части этого числа.

То ли вы опять как-то неправильно выразились, то ли не понимаете, о чём говорите.
Ваше высказывание означает, что для комплексного числа $z = re^{i\varphi} = a + bi$ верно $\varphi = |b|$. Но это же очевидно не так (даже для числа с модулем 1).

-- 17.01.2021, 03:07 --

Viatcheslav1 в сообщении #1501467 писал(а):

Подождите. Но ведь $180°$ это же не просто число $180$. Его нельзя просто так сравнивать с π.

Постройте график синуса, откладывая по оси $x$ градусы вместо радиан. И всё увидите сами.

[Viatcheslav1]

Тут ещё вот в чём дело. Предел частного двух функций равен пределу частного их производных, то есть в нашем случае вообще косинусу аргумента. И косинусу нуля глубоко фиолетово, берётся этот ноль в градусах или в радианах.

[StaticZero]

Viatcheslav1 в сообщении #1501464 писал(а):

исключильно об указанном пределе, то ответ будет одинаковым для любых единиц

Что значит "исключительно", если я уже выше написал для любого предела с похожей структурой?

Muha_ в сообщении #1501466 писал(а):

Если фаза записана в радианах, то ее величина равна абсолютной величине мнимой части этого числа

$\operatorname{arg} z = |\operatorname{Im} z|$, так что ли?

Мне кажется, что у вас где-то путаница: либо в понятиях, либо на стадии записи своих мыслей на поля этого форума, которые не слишком узки, чтобы так уж сильно сжимать текст до полной потери пульса смысла.

Viatcheslav1 в сообщении #1501467 писал(а):

Подождите. Но ведь $180°$ это же не просто число $180$.

Когда пишут $\sin x^\circ$, то имеют в виду специальный вид аргумента: $\sin x^\circ \equiv \sin \frac{\pi x}{180}$. Градусная мера имеет смысл в обычной тригонометрии "на круге", поскольку здесь есть деление окружности на части и градус -- это один из вариантов. По этой причине $\pi$ и градусы генетически связаны друг с другом.

С другой стороны, как вы думаете, имеет ли смысл запись $\sh 3^\circ$? Есть там некая естественная мера чего бы то ни было? Если есть, то какой градус надо брать здесь, "круговой" или "гиперболический"? Ну и так далее...

[Muha_]

irygaev в сообщении #1501468 писал(а):

То ли вы опять как-то неправильно выразились, то ли вы не понимаете, о чём говорите.

Да, там в исходном сообщении еще шла речь о том, что величина фазы стремится к нулю. Я не стал восстанавливать весь контекст в сообщении, а только уточнил. Собственно, это отражение факта из геометрии, что синус малого угла равен этому углу в радианах, только сформулированный для комплексного числа.

[StaticZero]

Viatcheslav1 в сообщении #1501470 писал(а):

Предел частного двух функций равен пределу частного их производных, то есть в нашем случае вообще косинусу аргумента

Продолжая своё сообщение, $f'(ax) = a f'(x)$. Ну и дальше по тексту.

[Muha_]

StaticZero в сообщении #1501471 писал(а):

$\operatorname{arg} z = |\operatorname{Im} z|$, так что ли?

Да, для малых значений $\operatorname{arg} z$ выраженных в радианах и $|z| = 1$. Отсюда вытекает выбор именно радиан для записи фазы комплексных чисел, как я понял.

[irygaev]

Viatcheslav1 в сообщении #1501470 писал(а):

Предел частного двух функций равен пределу частного их производных

А чему будет равна производная синуса, если аргумент задан в градусах?

[Odysseus]

Muha_ в сообщении #1501466 писал(а):

Я хотел сказать, что мы можем не задумываться как у нас выражается фаза комплексного числа (в радианах, в градусах или вообще от 0 до 1) до тех пор, пока одна и та же величина не фигурирует одновременно в фазе в показательной записи комплексного числа и в мнимой части другого числа в одном выражении.

Muha_ в сообщении #1501466 писал(а):

Если фаза записана в радианах, то ее величина равна абсолютной величине мнимой части этого числа (речь была о числе с модулем 1).

Как я и подозревал, вы под фазой понимаете что-то свое. Это не мнимая часть числа как вам почему-то кажется, а число $x$ в представлении комплексного числа (с модулем $1$) как $e^{i x}$. А мнимой частью $e^{i x}$ является $\sin x$. В самом деле, откройте учебники.

Muha_ в сообщении #1501466 писал(а):

Благодаря этому факту (как я понял) производная экспоненты получается равной экспоненте.

Я вас удивлю, но производная от $e^{i x}$ равна не $e^{i x}$, а $i \cdot e^{i x}$. Производная экспоненты равна самой экспоненте только для $e^{x}$. Значит вы не знаете и что такое производная...

Дальше мне даже не хочется комментировать.

Viatcheslav1 в сообщении #1501467 писал(а):

Подождите. Но ведь $180°$ это же не просто число $180$. Его нельзя просто так сравнивать с π.

Так вы же вычисляете предел $\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\sin x}{x}}$. Если $x$ там это не "просто число", то сначала определите что это в числителе и знаменателе, иначе предел никакого смысла иметь не будет. Или на осях координат у нас теперь тоже будут только "градусы" типа $180°$? Длины отрезков будем в них выражать, площади и т.д.?

[StaticZero]

Muha_ в сообщении #1501474 писал(а):

Да, для малых z выраженных в радианах

$$0{,}00089i + 0{,}0001$$

достаточно малое? Модуль у него вполне $\ll 1$.

(написано до уточнения про $|z| = 1$)