Muha_ и фаза комплексных чисел

[Muha_]

Odysseus в сообщении #1501476 писал(а):

Это не мнимая часть числа как вам почему-то кажется, а (для числа с модулем $1$) число $x$ в представлении комплексного числа как $e^{i x}$. А мнимой частью $e^{i x}$ является $\sin x$. В самом деле, откройте учебники.

Это все понятно, я просто сокращаю текст и путаюсь в терминах, а вы подозреваете что я вообще ничего не понимаю.

Odysseus в сообщении #1501476 писал(а):

Я вас удивлю, но производная от $e^{i x}$ равна не $e^{i x}$, а $i \cdot e^{i x}$.

Да, это большая ошибка. У меня в голове сидел образ производной для обычных чисел и я просто механически заменил в нем числа на комплексные. Конечно так делать нельзя. Но в целом, то что мне здесь пояснили по вопросу фазы в радианах вроде ухватываю и новые пояснения думаю что осилю.

[Odysseus]

Muha_ в сообщении #1501480 писал(а):

Это все понятно, я просто сокращаю текст и путаюсь в терминах, а вы подозреваете что я вообще ничего не понимаю.

Я не хотел вас обидеть, и уже писал вам, что вы используете неверную терминологию, поэтому сложно понять, что вы имеете в виду.

В чем-то путаться или чего-то не знать это не страшно. Но в таком случае нужно спрашивать и просить объяснений. Вместо этого вы делали утверждения противоречащие реальности и спорили, когда вам указывали на ваши ошибки. Это неправильный подход.

Если вам нужно еще что-то пояснить - не проблема, это одна из целей данного форума. Но чтобы было лучше понятно что вы понимаете и что еще нет, можете сформулировать, не спеша и максимально аккуратно, что вы уже поняли и что еще непонятно?

[Viatcheslav1]

irygaev в сообщении #1501475 писал(а):

Viatcheslav1 в сообщении #1501470 писал(а):

Предел частного двух функций равен пределу частного их производных

А чему будет равна производная синуса, если аргумент задан в градусах?

Производная - это функция. Какая разница, в чём задан аргумент. Производной синуса так и останется косинус.

[StaticZero]

Viatcheslav1 в сообщении #1501489 писал(а):

Производной синуса так и останется косинус.

Что, неужели $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \, \sin ax = \cos ax$?

[Viatcheslav1]

Muha_ в сообщении #1501450 писал(а):

Viatcheslav1 в сообщении #1501446 писал(а):

радианами вообще не заморачиваются - все расчёты комплексных переменных даются в градусах.

Значение этого выражения при x в радианах получается равным 1:

$$\lim\limits_{x\to 0} {\frac{e^{i x} - 1}{i x}}$$

Если попробовать вычислить значение этого выражения для x в градусах, получится неправильный результат.
Равенство этого выражения 1 нужно для того, чтобы производная экспоненты была равна экспоненте.

Отвечая на вопрос камрада.

\lim\limits_{x\to 0} {\frac{e^{i x} - 1}{i x}} = \lim\limits_{x\to 0} {\frac{(e^{i x} - 1)'}{(i x)'}}= \lim\limits_{x\to 0} {\frac{ie^{i x}}{i}}=\lim\limits_{x\to 0} {e^{i x}}=e^{0} = 1

Всё. Ноль равен нулю, и безразлично, как вы о нём думаете - в градусах или радианах.
Если у вас на счету ноль, то неважно в какой валюте вы его выражаете - рублях ли, в долларах ли, или в неведомых биткоинах.
Если у вас на счету ноль, то за вами завтра придут судебные приставы.

По-поводу хиханек и хаханек насчёт \lim\limits_{x\to 0} {\frac{2x}{x}}
Вы путаете Бабеля с Бебелем, а Гоголя с Гегелем. Или, на языке идущих к вам судебных приставов, занимаетесь подменой понятий.
В выражении \lim\limits_{x\to 0} {\frac{2x}{x}} вы используете эквивалентные бесконечно малые, в то время как в пределе \lim\limits_{x\to 0} {\frac{\sin {x}}{x}}
бесконечно малые не являются эквивалентными. Это другое - понимать надо!

Ну и насчет 180° и \pi радиан. Неужели и вправду кто-то на этом форуме возьмет для градусов и радиан одинаковую цену деления? У меня, например, в количестве примерно 3,14 радиан разместится 180 делений для градусов.

[kotenok gav]

Недавно на форуме предложили хорошую вещь: считать значок $\phantom x^\circ$ равным $\dfrac \pi{180}$. Тогда никакой путаницы не возникает.

-- 17 янв 2021, 12:42 --

(Оффтоп)

Почему для \circ не сработали ни конструкция {}^\circ, ни {\phantom x}^\circ, ни \raisebox{\height}{\(\circ\)}? Просто $x^\circ$ работает, если что.

[irygaev]

Viatcheslav1 в сообщении #1501489 писал(а):

Производная - это функция. Какая разница, в чём задан аргумент. Производной синуса так и останется косинус.

Производная - это тангенс угла наклона касательной. Если вы нарисуете график синуса, где по оси $x$ будут отложены градусы, он будет куда более растянутым по горизонтали по сравнению с привычным синусом. Стало быть углы наклона касательных тоже изменятся. Значит производная будет другая.

Возьмите совместный график синуса и косинуса, поставьте на обоих графиках точку в каком-нибудь $x_0$ (не в точке экстремума), а потом растяните графики влево-вправо. Очевидно, от такого растягивания значение синуса и косинуса в отмеченной точке не изменится, а вот угол наклона, а стало быть и производная изменится. Поэтому производной от синуса не может остаться просто косинус.

Возьмите хотя бы точку $x = 0$. Тут косинус равен 1, значит касательная к синусу должна идти под $45^\circ$, но после растягивания она уже будет не $45^\circ$, а меньше.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Viatcheslav1 в сообщении #1501491 писал(а):

в пределе $\lim\limits_{x\to 0} {\frac{\sin {x}}{x}}$ бесконечно малые не являются эквивалентными. Это другое - понимать надо!

Viatcheslav1 в сообщении #1501491 писал(а):

Неужели и вправду кто-то на этом форуме возьмет для градусов и радиан одинаковую цену деления?

Похоже на троллинг, учитывая предысторию; а точнее, на неуклюжее тралирование. Будем звать санитаров. Я пойду отсюда.

[Odysseus]

Viatcheslav1
Я редко выражаюсь настолько резко и категорично, но вы безнадежны.

[Viatcheslav1]

irygaev в сообщении #1501495 писал(а):

Viatcheslav1 в сообщении #1501489 писал(а):

Производная - это функция. Какая разница, в чём задан аргумент. Производной синуса так и останется косинус.

Производная - это тангенс угла наклона касательной. Если вы нарисуете график синуса, где по оси $x$ будут отложены градусы, он будет куда более растянутым по горизонтали по сравнению с привычным синусом. Стало быть углы наклона касательных тоже изменятся. Значит производная будет другая.

Возьмите совместный график синуса и косинуса, поставьте на обоих графиках точку в каком-нибудь $x_0$ (не в точке экстремума), а потом растяните графики влево-вправо. Очевидно, от такого растягивания значение синуса и косинуса в отмеченной точке не изменится, а вот угол наклона, а стало быть и производная изменится. Поэтому производной от синуса не может остаться просто косинус.

Ребят, вот не понимаю, почему в этой ветке народ не хочет остановиться на том, что производные и интегралы от функций - это в первую очередь тоже функции, и уже потом градусы, радианы или тангенсы угла наклона касательной.
Давайте отвлечёмся от тригонометрии. Предположим, что мы рассуждаем о расстоянии. Его можно выражать в чём угодно - метрах, километрах, и даже пирожках.
Пока я иду к бабушке по-папиной линии, я съедаю два пирожка, а когда иду к бабушке по-маминой линии, то все три. Но ведь от этого расстояние не перестаёт быть интегралом от скорости. Ну и вот когда вам известна функция для расчёта расстояния, вы переходите к конкретным величинам. И да, при наличии известных вам коэффициентов, вы без труда переведёте километры в пирожки. В оригинале один из вопросов вообще звучал так: можно ли в комплексных фазах использовать градусы. И один из ответов (мой) был: да, в некоторых расчётах можно. В электротехнике. О других разделах не знаю.
Между градусами и радианами существует жёсткое соответствие. Синус тридцати градусов равен синусу \pi, поделённому на шесть. И тангенс угла наклона касательной будет одинаковым в обоих случаях.

-- 16.01.2021, 22:02 --

Odysseus в сообщении #1501497 писал(а):

Viatcheslav1
Я редко выражаюсь настолько резко и категорично, но вы безнадежны.

Чёт не пойму. Действительно что-ли есть на свете люди, которые считают, что численное значение производной, взятой от угла в градусах отличается от значения производной того-же угла, но взятого в радианах? Я тоже редко выражаюсь настолько резко и категорично, но такие люди должно быть и есть те самые жертвы ЕГЭ, о которых в последнее время так много говорят.

[Odysseus]

Viatcheslav1 в сообщении #1501499 писал(а):

Действительно что-ли есть на свете люди, которые считают, что численное значение производной, взятой от угла в градусах отличается от значения производной того-же угла, но взятого в радианах?

Ох... Производная берется не от угла, в чем бы он не выражался, а от функции. По оси абсцисс при этом не градусы $x^\circ$, а обычные числа $x$ (о чем я уже вам писал в http://dxdy.ru/post1501476.html#p1501476, но вы это благополучно проигнорировали). И если аргумент функции это не радиан (сиречь число) $x$, а градусы $x^\circ$ по некоей искусственной шкале, которые переводятся в радианы как $x^\circ=\frac{\pi x}{180}$, т.е. синус принимает свое первое нулевое значение при положительном аргументе не при $x=\pi$, а при $x=180$, то график функции соответствующим образом растягивается и производная меняется.

Ну или другими словами:
1) Для тригонометрических функций в "школьном смысле" шкала градусов окружности от $0 ^\circ$ до $360^\circ$ была выбрана совершенно произвольно. Вместо $360$ там могло бы быть и $180$ и $720$ и т.д.
2) Но другие функции, как и масштаб осей координат, не могут зависеть от этого произвола.
3) Поэтому и значения $\sin x$ и $\cos x$ в точке $x$ нелогично и неудобно заставлять зависеть от этого произвола. Хотя бы из-за того, что в таком случае в каждое слагаемое ряда Тейлора разложения этих функций придется добавлять это число (в разных степенях), производная синуса не будет равна косинусу и т.д. (о чем я тоже писал ранее, в http://dxdy.ru/post1501452.html#p1501452).

Но это было не вам, а тем, кто хочет что-то понять. Как я говорил, вы безнадежны, поэтому продолжайте и дальше считать, что производная $\sin \frac{\pi x}{180}$ равна производной $\sin x$

[schoolboy]

В заголовке темы есть слова «физический смысл», а в физике никаких обычных чисел не бывают, при любом числе обязательно должна указываться размерность, поэтому если о физическом смысле, то все просто – всегда при числе не забывайте ставить размерность и будет вам покой и счастье.

[warlock66613]

schoolboy в сообщении #1501508 писал(а):

при любом числе обязательно должна указываться размерность

Вообще-то "при любом числе" должна "указываться" единица измерения, а не размерность.</zanuda>

[Viatcheslav1]

Удалено. Только сейчас до меня дошло, чего они от меня хотят. Они хотят, чтобы я модифицировал аргумент и привел его к виду x=(πt)/180°, где x - в радианах, а t - в градусах.
Дорогие мои, ну тогда в первом замечательном пределе вам необходимо будет модифицировать таким же образом и знаменатель.
И тогда ваши модификации Удалено. посокращаются, и первый замечательный предел так и останется равным единице.

[Mikhail_K]

Viatcheslav1
У нас тут не принято так выражаться.
Поправьте в обоих местах, пока модераторы не пришли.

Если по существу, то напишите точное математическое утверждение, правильность которого Вы отстаиваете.
Из Ваших эмоциональных сообщений это не вполне ясно.